抽象代数-07-元素的阶，生成群和循环群

元素的阶

定义

设G是一个群，a是G中的一个元素，则子群 $< a >$ 的阶称为元素a的阶，记为 $| a |$ 或 $o r d (a)$
设G是一个群，a是G中的一个元素，e为单位元，使

[a^{k} = e]

成立的最小正整数 $k$ 称为元素 $a$ 的阶. 若 $a$ 的阶为 $n$ ，记为 $| a | = o r d (a) = n$ . 若不存在整数 $k$ 满足上述条件，则称 $a$ 的阶为无穷大，记为 $| a | = \infty$ .
无限循环群 $(o r d (a) = \infty)$ 可表示为：
$[< a >= {\dots, a^{- 2}, a^{- 1}, a^{0}, a^{1}, a^{2}, \dots}, 其中 a^{0} = e .]$
有限 $m$ 阶循环群 $(o r d (a) = m)$ 可表示为：
$[< a >= {a^{0}, a^{1}, a^{2}, \dots, a^{m - 1}}, 其中 a^{0} = e, a^{m} = e .]$

元素阶及其性质

设 G 是一个群, $a \in G$ .
I. 如果 $a$ 是无限阶的元素, 则:
1. $a^{k} = e$ 当且仅当 $k = 0$ ;
2. 元素 $a^{k}$ ( $k \in Z$ ) 两两不同.
II. 如果 $a$ 具有有限阶 $m > 0$ , 则:
1. m 是使得 $a^{m} = e$ 的最小整数;
2. $a^{k} = e$ 当且仅当 $m | k$ ;
3. $a^{r} = a^{k}$ 当且仅当 $r \equiv k (\mod m)$ ;
4. 元素 $a^{k}$ ( $k \in Z / m Z$ ) 两两不同;
5. $⟨ a ⟩ = {a, a^{2}, a^{3}, . . ., a^{m - 1}, a^{m} = e}$ ;
6. 对任意整数 $d$ , $1 \leq d \leq m$ , 有 $ord (a^{d}) = \frac{m}{(m, d)}$ .

生成群

生成子群

设G是一个群， ${H_{i}}_{i \in I}$ 是 G 的一族子群，则 $⋂_{i \in I} H_{i}$ 是 G 的一个子群.
例： $2 Z$ 是 $Z$ 的子群， $3 Z$ 是 $Z$ 的子群， $2 Z \cap 3 Z = 2 Z$ 是 $Z$ 的子群.
设 $G$ 是一个群， $X$ 是 $G$ 的子集， ${H_{i}}_{i \in I}$ 是 $G$ 的包含 $X$ 的所有子群，则 $⋂_{i \in I} H_{i}$ 是 $G$ 的由 $X$ 生成的子群，记为 $< X >$ .
注： $< X >$ 是包含 $X$ 的最小子群.
例： $X = 2 Z, G = (Z, +)$ 中包含X的所有子群为 $2 Z, 3 Z$ , $2 Z .2 Z \cap 3 Z \cap 2 Z = 2 Z =< X >$ .
设 $G$ 是一个群, $X = {a_{1}, . . ., a_{t}}$ 是G的非空子集，则

（1）当 $G$ 为乘法群时，由 $X$ 生成的子群为

< X >= {a_{1}^{n_{1}} a_{2}^{n_{2}} . . . a_{t}^{n_{t}} | n_{i} \in Z, 1 \leq i \leq t} .

特别地，对任意的 $a \in G$ ，有

< a >= {a^{n} | n \in Z} .

（2）当 $G$ 为加法群时，由 $X$ 生成的子群为

< X >= {n_{1} a_{1} + . . . + n_{t} a_{t} | n_{i} \in Z, 1 \leq i \leq t} .

特别地，对任意的 $a \in G$ ，有

< a >= {n a | n \in Z} .

$X$ 的元素称为子群 $< X >$ 的生成元, $X$ 称为生成元集。
如果 $X = {a_{1}, . . ., a_{t}}$ ，则记< $X$ >= $< a_{1}, . . ., a_{t} >$ .
如果 $G =< a_{1}, . . ., a_{t} >$ ，则称 $G$ 为有限生成的.

循环群

$H = {a^{k} | k \in Z}$ 称为 $a$ 生成的循环子群,即 $< a >$
如果 $G =< a >$ ，则称 $G$ 为 $a$ 生成的循环群.

循环群的性质

设 $G$ 是循环群, $G =< a >$

如果 $G$ 是无限的, 则G的生成元为 $a$ 和 $a^{- 1}$ .
如果 $G$ 是有限阶 $m$ , 则 $a^{k}$ 是G的生成元当且仅当 $(k, m) = 1$ .
整数加群 $(Z, +)$ 的每个子群 $H$ 都是循环群。并且有 $H =< 0 >$ 或 $H =< m >= m Z$ ，其中 $m$ 是 $H$ 中的最小正整数。如果 $H \neq< 0 >$ ，则 $H$ 是无限的。
例：加群 $Z$ 的子群 $H =< 3 >= 3 Z$ 是无限循环群。 $H =< 0 >= (0, +))$ 是有限循环群。
加群Z的子群 $ H==mZ={…,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,…}$ 是无限循环群。
循环群的子群是循环群。
定理:
（1）每个无限循环群与整数加群 $Z$ 同构；
（2）每个 $m$ 阶循环群与模m剩余类加群 $Z_{m} = Z / m Z$ 同构.
从同构的观点看，循环群只有两种，整数加群和模m剩余类加群.