抽象代数-03-群的定义

群

代数运算：

设\(S\)是一非空集合，那么\(S\times S\to S\)的映射叫做\(S\)上的代数运算。该代数运算记为“\(\circ\)”(operator)
“\(\circ\)”可为加法、乘法等。

封闭性：

对于运算“\(\circ\)”，\(\forall a,b \in S\),都有\(a\circ b \in S\)，则称运算\(\circ\)在\(S\)上具有封闭性。

代数系统：

对于非空集合\(S\)以及\(S\)上的运算\(\circ\),若运算\(\circ\)在\(S\)上满足封闭性，则称其为代数系统，记为\((S,\circ)\)
例如：\((N,+),(Z,-)\)是代数系统，\((N,-)\)不是代数系统。

满足结合律的代数系统称为半群\((Semi-Group)\)
例如：\((Z,+)\)是半群，\((Z,-)\)不是半群。

单位元

对于非空集合\(S\)以及\(S\)上的运算\(\circ\),如果 \(\exists e\) 使得对\(S\)中所有元素\(a\)都有 \(e \circ a = a\)
则称该元素\(e\)为中的左单位元，同理定义右单位元。当左单位元等于右单位元时，合称为单位元。
当\(S\) 的运算\(\circ\)为加法时，\(e\)也叫做零元。
性质:单位元唯一
具有单位元的半群叫做幺半群(monoid，也叫做独异点)

逆元

非空集合\(S\)有运算\(\circ\)且有单位元,如果 对\(S\)中元素\(a,\exists a^,\) 使得都有 \(a^, \circ a = a \circ a^, = e\)
则称元素\(a\)为\(S\)中的可逆元，\(a^,\)称为\(a\)的逆元，记为\(a^-1\)
运算为加法时，称为a的负元，记为\(-a\)
性质：\(S\)是有单位元的半群，对于\(S\)中的任意可逆元\(a\),其逆元是唯一的。
注意:逆元是由集合\(S\)和代数运算共同决定，同一集合不同代数系统单位元和逆元可能不同。

群的定义

每个元素都有逆元的幺半群是群\((Group)\)
设G是一个具有运算\(\circ\)的非空集合。（G，\(\circ\)）称为一个群，如果G中的运算\(\circ\)满足以下四个条件：
1.（封闭性）∀a,b∈G,有\(a\circ b\in G\);
2.（结合律）∀a,b,c∈G,有\((a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\);
3.（单位元）∃e∈G,s.t. ∀a∈G,有\(e\circ a=a\circ e=a\);
4.（逆元）∀a∈G,∃a'∈G,s.t.: \(a'\circ a=a\circ a'=e\).
特别地，当G的运算\(\circ\)乘法时，G叫做乘群(G,\(\cdot\)); 当G的运算\(\circ\)加法时，G叫做加群(G,+)

交换群

(消去律)：设S是一个具有运算\(\circ\)的非空集合. 如果对S中的任意元素\(a\neq0\),b和c，当\(a\circ b=a\circ c\)或\(b\circ a=c\circ a\)时，一定有\(b=c\)成立，则称运算具有消去律。
群一定满足消去律。
(交换律)：设S是一个具有运算\(\circ\)的非空集合. 如果对S中的任意元素a,b，都有

\[a\circ b=b\circ a \]

则称该运算\(\circ\)满足交换律。
若群G满足交换律(\(\forall a,b\in G\), 有\(ab=ba\))，则称为交换群或\(Abel群\)（阿贝尔群）。

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内容整理与复习

满足封闭性、代数系统

• 封闭性：对于任何两个元素 \(a\) 和 \(b\)，其运算结果仍属于该集合。
• 代数系统：由非空集合和在该集合上定义的一个或多个运算组成的数学结构。

满足结合律的代数系统、半群

• 结合律：对于任意的三个元素 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，有 \((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)。
• 半群：具有结合律但不要求存在单位元的代数系统。

具有单位元的半群、幺半群（独异点）

• 单位元：存在一个元素 \(e\) 使得对于所有元素 \(a\)，有 \(e \circ a = a \circ e = a\)。
• 幺半群：具有单位元的半群。

每个元素具有逆元的幺半群、群

• 逆元：对于每个元素 \(a\)，存在一个元素 \(a^{-1}\) 使得 \(a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\)。
• 群：具有单位元且每个元素都有逆元的幺半群。

满足交换律的群、交换群

• 交换律：对于任意的两个元素 \(a\) 和 \(b\)，有 \(a \circ b = b \circ a\)。
• 交换群：满足交换律的群。