抽象代数-02-代数系统

代数运算

集合 $A, B, C$ ,把一个从 $A \times B$ 到 $C$ 的代数运算的映射叫做一个从 $A \times B$ 到 $C$ 的代数运算，记为 $\circ$
$\circ : (a, b) \to c$
$a \circ b = c$
如果 $\circ$ 是 $A \times A$ 到 $A$ 的代数运算，我们就说，集合 $A$ 对于代数运算 $\circ$ 来说是封闭的，或者说 $\circ$ 是 $A$ 的代数运算或二元运算

结合律

$\circ$ 是 $A$ 的代数运算，对于 $\forall a, b, c \in A$ ,如果 $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ ,则称代数运算适合结合律，记 $a \circ b \circ c = (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ ，如果结合律不成立，符号 $a \circ b \circ c$ 无意义。

交换律

$\circ 为 A \times A 到 D$ 的代数运算，如果 $a \circ b = b \circ a$ 就说代数运算 $\circ$ 适合交换律

分配律

第一分配律
集合 $A$ , $B$ 定义了以下这两个代数运算 $\otimes$ 和 $\oplus$ :
$\otimes$ 是一个 $B \times A$ 到 $A$ 的代数运算;
$\oplus$ 是一个 $A$ 的代数运算.
如果对于任意 $b \in B$ 和 $a_{1}, a_{2} \in A$ , 下式总成立
$b \otimes (a_{1} \oplus a_{2}) = (b \otimes a_{1}) \oplus (b \otimes a_{2}),$
则称代数运算 $\otimes$ 和 $\oplus$ 适合第一分配律.

定理
假如 $\oplus$ 适合结合律，而且 $\otimes$ 和 $\oplus$ 适合第一分配律，那么对于 $B$ 的任意元素 $b$ ， $A$ 的任意 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 有
$b \otimes (a_{1} \oplus a_{2} \oplus \dots \oplus a_{n}) = (b \otimes a_{1}) \oplus (b \otimes a_{2}) \oplus \dots \oplus (b \otimes a_{n}) .$
第二分配律
定义
集合 ( A, B ) 定义了以下这两个代数运算 $\otimes$ 和 $\oplus$ ：

$\otimes$ 是一个 $A \times B$ 到 $A$ 的代数运算；
$\oplus$ 是一个 $A$ 的代数运算。

如果对于任意 $b \in B$ 和 $a_{1}, a_{2} \in A$ 下式总成立：
$(a_{1} \oplus a_{2}) \otimes b = (a_{1} \otimes b) \oplus (a_{2} \otimes b),$
则称代数运算 $\otimes$ 和 $\oplus$ 适合第二分配律。
定理
假如 $\oplus$ 适合结合律，而且 $\otimes$ 和 $\oplus$ 适合第二分配律，那么对于 $B$ 的任意 $b$ ， $A$ 的任意 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 来说，
$(a_{1} \oplus a_{2} \oplus \dots \oplus a_{n}) \otimes b = (a_{1} \otimes b) \oplus (a_{2} \otimes b) \oplus \dots \oplus (a_{n} \otimes b) .$

二元关系

$A \times B$ 的子集 $R$ 叫做 $A, B$ 间的一个二元关系
当 $(a, b) \in R$ 时, 说 $a$ 与 $b$ 具有关系, 记为 $a R b$ ;
当 $(a, b) \notin R$ 时, 说 $a$ 与 $b$ 不具有关系, 记为 $a R^{'} b$
$A \times A$ 的任何一子集 $R$ 称为集合 $A$ 上的一二元关系
等价关系是一种特殊的二元关系, 我们用“ $\sim$ ”来表示
定义:
若 $R \subseteq A \times A$ , 且 $R$ 满足如下条件:

自反性: $(a, a) \in R$
对称性: $(a, b) \in R$ , 则 $(b, a) \in R$
传递性: $(a, b) \in R$ , $(b, c) \in R$ , 则 $(a, c) \in R$
那么我们称 $R$ 为一个等价关系.
比如模 $m$ 的同余关系是一个等价关系.

如果 $R$ 为一个等价关系, 若 $(a, b) \in R,$ 则称 $a$ 与 $b$ 等价, 记为 $a \sim b .$

若已知 $R$ 是 $A$ 上的一个等价关系, 集合 $x$ = ${y | y \in A, (x, y) \in R}$ 称为由 $x$ 决定的等价类
性质
$R$ 是 $A$ 上一个等价关系，任意 $x, y \in A$ 有
$x = y$ 或 $x \cap y = \emptyset$
定义
设 ${B_{i}, i \in I}$ 为集合 $A$ 的子集族，满足以下两个条件：