随笔分类 -  抽象代数

群、环、域
抽象代数-11-域和域的扩张
摘要：域 基本定义 定义：若R是一个环，并且R∗=R∖{0}对于乘法构成一个交换群，则称R为一个域。 定义：交换除环叫作域。 定理：域一定是整环。 定理：有限整环一定是域。 定义：只包含有限个元素的域称为有限域，其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(G 阅读全文
posted @ 2024-12-08 14:38 lumiere_cloud 阅读(182) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-10-环的同构与同态
摘要：同构与同态 基本定义 设R和R′是两个环，f是R到R′的一个映射，如果∀a,b∈R,均有: f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b) 则称f为从R到R′的同态映射 分类 若\( 阅读全文
posted @ 2024-12-08 14:06 lumiere_cloud 阅读(139) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-09-子环、理想和商环
摘要：子环 定义 设(R,+,⋅)是一个环，S是R的非空子集，如果S关于R的运算也构成一个环，则称S为环R的子环 例：(mZ,+,⋅)是整数环Z的子环，整数环\(\mathbb{Z} 阅读全文
posted @ 2024-12-07 16:02 lumiere_cloud 阅读(138) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-08-环的定义和基本性质
摘要：环 定义 设R是一个非空集合，在R上定义两种代数运算“+”和“·”，分别被称为加法和乘法，如果下列条件被满足： (1)(R,+)是一个交换群 (2) R关于乘法“·”，满足结合律，即∀a,b,c∈R，有 (a·b)·c=a·(b·c)(3 阅读全文
posted @ 2024-12-07 15:01 lumiere_cloud 阅读(106) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-07-元素的阶，生成群和循环群
摘要：元素的阶 定义 设G是一个群，a是G中的一个元素，则子群<a>的阶称为元素a的阶，记为|a|或ord(a) 设G是一个群，a是G中的一个元素，e为单位元，使 [ak=e]成立的最小正整数k称为元素a的阶. 若a的阶为n，记为 阅读全文
posted @ 2024-12-06 21:09 lumiere_cloud 阅读(154) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-06-置换群
摘要：置换群 变换群与置换群 设X为非空集合，集合X到X的一对一变换称为双射变换，X上全体双射变换集合记成T(X)。如果X为有限集合，则称T(X)中的元素为X上的置换。 在T(X)中引入一个二元运算∘, ∀α,β∈T(X)，定义\(α\circ 阅读全文
posted @ 2024-12-06 19:53 lumiere_cloud 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-05-同态与同构
摘要：同态与同构 群的同态 设(G,⋅)和(G′,⊙)是两个群，若存在映射f:G→G′满足：∀a,b∈G,均有 f(a⋅b)=f(a)⊙f(b)则称f是G到G′的一个同态映 阅读全文
posted @ 2024-12-06 18:22 lumiere_cloud 阅读(66) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-04-子群、陪集
摘要：有限群 群G的元素个数叫做群G的阶，记为∣G∣，当∣G∣为有限数时，G叫做有限群，否则叫做无限群 幂 设n为正整数，如果a1=a2=⋯=an=a,则记\(a_1a_2\cdots a_n = a^ 阅读全文
posted @ 2024-12-03 15:20 lumiere_cloud 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-03-群的定义
摘要：群 代数运算： 设S是一非空集合，那么S×S→S的映射叫做S上的代数运算。该代数运算记为“∘”(operator) “∘”可为加法、乘法等。 封闭性： 对于运算“∘”，∀a,b∈S 阅读全文
posted @ 2024-12-03 13:49 lumiere_cloud 阅读(78) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-02-代数系统
摘要：代数运算 集合A,B,C,把一个从A×B 到C的代数运算的映射叫做一个从A×B 到C的代数运算，记为 ∘ ∘:(a,b)→c a∘b=c 如果 ∘ 阅读全文
posted @ 2024-12-02 21:37 lumiere_cloud 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑
抽象代数-01-代数的基本概念
摘要：加氏积 设A1A2⋯An是N个集合，一切从中顺序取出的元素组(a1,a2,⋯,an),ai∈Ai,所组成的集合叫做集合A1A2⋯An的加氏积，记为\(A_1\ti 阅读全文
posted @ 2024-12-02 21:36 lumiere_cloud 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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