CF 947 (Div. 1 + Div. 2) D. Paint the Tree

时间： 24_05_30

原题：Codeforces Round 947 (Div. 1 + Div. 2)

标签： 二分/数据结构/[[DFS]]/[[模拟]]/[[树形结构]]

题目大意

有 \(n\) 个顶点的树，初始时每个节点都是白色

树上有两个棋子，为\(P_A\) 和 \(P_B\) ，分别位于 \(a\) , \(b\) 顶点

\(P_A\) 所在的顶点会被涂成红色，\(P_B\) 经过的顶点如果是红色，那么该顶点变成蓝色

每次两棋子各走一步，问最少几次所有顶点会变成蓝色

思路

分解问题

• 首先解决一个问题，假定 \(P_A\) 和 \(P_B\) 在同一个顶点上，那么最短的路径是多少？

我们可以画个图，要想经过所有顶点，每条路径都要经过两次，除了拘留 \(P_A\) 最远的点

换句话说，以 \(a\) 为根节点，节点数为 \(n\) ，树的最大深度为 \(mx\) ，则此时的最优解为 \(2*(n-1)-mx\)

• 第二个问题，现在a与b不是同一位置，此时我们需要一个不太严谨的猜想：pa与pb先在ab点碰面，再从ab点出发，此时为最优解

简单的解释一下，思考\(P_A\) 和 \(P_B\) 在整个过程中的运动，最后的答案关键在于 \(P_B\) 点的结束次数

那么不考虑路径重复等复杂问题，先让两点移动到5，再从5开始dfs，可以得到最优答案

解决流程

1. 以a为根结点dfs造树

2. 找出最合适的点ab

3. 以ab为根结点造树

4. 根据ab找出的mx和从a到ab的cnt找出答案

代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<functional>

using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

const int N = 2e5 + 10;

int _, n, u, v, a, b;
vector<int>g[N];
vector<int>f(N);//father
vector<int>dep(N);

void solve() {
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        g[i].clear();
        dep[i] = 0;
        f[i] = 0;
    }
    cin >> a >> b;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        cin >> u >> v;
        g[u].emplace_back(v);
        g[v].emplace_back(u);
    }

    //1. 以a为根结点dfs造树
    function<void(int, int)>dfs = [&](int r, int fa) {
        //先建树
        f[r] = fa;
        //再取dep
        dep[r] = dep[fa] + 1;
        //子树
        for (auto i : g[r])
            if (i != f[r])
                dfs(i, r);
    };
    dfs(a, 0);
    //2. 找出最合适的点ab
    int ab = b;
    int cnt = 0;
    // 根据深度寻找最适合的ab
    while (dep[ab] > (dep[a] + dep[b]) / 2) {
        ab = f[ab];
        cnt++;//同时记录cnt，即a和b走了多少次到达的ab
    }
    //3. 以ab为根结点造树
    dfs(ab, 0);
    
    //4. 根据ab找出的mx和从a到ab的cnt找出答案
    int ans = 1e18;
    for (int i = 1; i <= n; i++) //也可以在dfs中找mx，这里选择遍历一下找出最大深度
        ans = min(ans, 2 * (n - 1) - (dep[i]-1) + cnt);//由于代码中根结点的深度为1，需要减去这个1
    
    cout << ans << endl;
}
signed main() {
    cin >> _;
    while (_--) 
        solve();
    return 0;
}

参考B站