最近公共祖先 LCA 模板
算法步骤
时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)，\(n\)是问题规模，\(q\)是询问个数
倍增法求\(LCA\)
\(fa[i,j]\)表示从\(i\)开始向上走\(2^j\)所能到达的节点 \((0 \leq j\leq\log n)\)
\(depth[i]\)表示节点\(i\)的深度
哨兵：如果从\(i\)开始跳\(2^j\)步会跳过根节点，那么\(fa[i,2^j]=0，depth[0]=0\)
- 先将两个节点跳到同一层
- 让两个节点同时往上跳，一直跳到他们最近公共祖先的下一层。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10,UP = 19;// UP = log2(N)
#define endl '\n'
#define IO ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
int e[N*2],ne[N*2],h[N],idx,fa[N][UP + 1],depth[N],n,m,s;
// 注意这里fa[N][UP + 1],UP必须要+1，不然求lca的时候数组越界
void add(int a,int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
}
void bfs(int root) {
memset(depth,0x3f,sizeof depth);
depth[0] = 0,depth[root] = 1;
queue<int> q;
q.push(root);
while(q.size()) {
int t = q.front();
q.pop();
for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {// 遍历每个节点的子节点
int j = e[i];
if(depth[j] > depth[t] + 1) {// 更新depth数组
depth[j] = depth[t] + 1;
q.push(j);
fa[j][0] = t;//初始化 fa数组
for(int k = 1;k <= UP; ++k)
fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
}
}
}
}
int lca(int a,int b) {
if(depth[a] < depth[b]) swap(a,b);// 始终让 a 在更深的一层
for(int k = UP; k >= 0; --k) {// a开始往上跳，跳到与b同深度
if(depth[fa[a][k]] >= depth[b]) // 如果a 跳 2^j还没超过 b，就可以更新a当前的位置
a = fa[a][k];
}
if(a == b) return a;// 如果a 和 b在同一层了，并且a == b，说明 这个节点就是他们的LCA
for(int k = UP;k >= 0; --k) {
// 初始化的时候，超过根节点的值，都是0，不用担心步子太大跳过祖先
if(fa[a][k] != fa[b][k]) {// 一起向上跳，如果上一层不相同，就继续跳
a = fa[a][k];
b = fa[b][k];
}
}
return fa[a][0];// 在向上跳一步就是a和b的LCA
}
int main() {
IO;
memset(h,-1,sizeof h);
cin >> n >> m >> s;
for(int i = 0;i < n - 1; ++i) {
int a,b;
cin >> a >> b;
add(a,b);
add(b,a);
}
bfs(s);
while(m --) {
int a,b;
cin >> a >> b;
cout << lca(a,b) << endl;
}
return 0;
}
模板题
