最近公共祖先 LCA 模板

算法步骤

时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)，\(n\)是问题规模，\(q\)是询问个数
倍增法求\(LCA\)
\(fa[i,j]\)表示从\(i\)开始向上走\(2^j\)所能到达的节点 \((0 \leq j\leq\log n)\)
\(depth[i]\)表示节点\(i\)的深度
哨兵：如果从\(i\)开始跳\(2^j\)步会跳过根节点，那么\(fa[i,2^j]=0，depth[0]=0\)

1. 先将两个节点跳到同一层
2. 让两个节点同时往上跳，一直跳到他们最近公共祖先的下一层。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10,UP = 19;// UP = log2(N)
#define endl '\n'
#define IO ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
int e[N*2],ne[N*2],h[N],idx,fa[N][UP + 1],depth[N],n,m,s;
// 注意这里fa[N][UP + 1],UP必须要+1，不然求lca的时候数组越界
void add(int a,int b) {
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx ++; 
}
void bfs(int root) {
    memset(depth,0x3f,sizeof depth);
    depth[0] = 0,depth[root] = 1;
    queue<int> q;
    q.push(root);
    while(q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {// 遍历每个节点的子节点
            int j = e[i];
            if(depth[j] > depth[t] + 1) {// 更新depth数组
                depth[j] = depth[t] + 1;
                q.push(j);
                fa[j][0] = t;//初始化 fa数组
                for(int k = 1;k <= UP; ++k)
                    fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
            }
        }
    }
}
int lca(int a,int b) {
    if(depth[a] < depth[b]) swap(a,b);// 始终让 a 在更深的一层
    for(int k = UP; k >= 0; --k) {// a开始往上跳，跳到与b同深度
        if(depth[fa[a][k]] >= depth[b]) // 如果a 跳 2^j还没超过 b，就可以更新a当前的位置
            a = fa[a][k];
    }
    if(a == b) return a;// 如果a 和 b在同一层了，并且a == b，说明 这个节点就是他们的LCA
    for(int k = UP;k >= 0; --k) {
        // 初始化的时候，超过根节点的值，都是0，不用担心步子太大跳过祖先
        if(fa[a][k] != fa[b][k]) {// 一起向上跳，如果上一层不相同，就继续跳
            a = fa[a][k];
            b = fa[b][k];
        }
    }
    return fa[a][0];// 在向上跳一步就是a和b的LCA
}

int main() {
    IO;
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin >> n >> m >> s;
    for(int i = 0;i < n - 1; ++i) {
        int a,b;
        cin >> a >> b;
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    bfs(s);
    while(m --) {
        int a,b;
        cin >> a >> b;
        cout << lca(a,b) << endl;
    }
    return 0;
}

模板题

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）