康托展开 & 逆康托展开
康托展开 & 逆康托展开
定义
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建hash表时的空间压缩。
设有\(n\)个数\(（1,2,3,4,\dots ,n）\)，组成不同\(n!\) 种的排列组合，其康托展开唯一且最大约为\(n!\)
康托展开表示的就是当前排列在\(n\)个不同元素的全排列中的名次。
时间复杂度\(O(n^2)\)
适用范围
搜索，动态规划中常常用一个数字来表示一种状态，大大降低空间复杂度
公式
\(X=a_1\times(n−1)!+a_2\times(n−2)!+⋯+a_n\times0!\)
\(X\) 代表当前排列在全排列中的排名
\(a_i\) 代表当前数是数列中未出现的数中第几小的 从0开始计数，0是第一小的数
例如 $ 4,2,3 ,1 $
\(4\) 是当前数列中未出现的数中第\(3\) 小的，\(X += 3*(4-1)!\)
\(2\) 是当前数列中未出现的数中第\(1\) 小的，\(X += 1*(4-2)!\)
\(3\) 是当前数列中未出现的数中第\(1\) 小的，\(X+=1*(4-3)!\) ,因为\(2\) 已经输出过了，所以不算
\(1\) 是当前数列中未出现的数中第\(0\) 小的，\(X += 0*(4-4)!\)
这要就求出了\(4,2,3 ,1\) 所唯一对应的在全排列中的名次\(X = 22\)
- 注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现
- 这里用树状数组统计比它小的数出现过的次数就可以了，可以优化到\(O(n\log{n})\)
代码
先预处理阶乘
void init() {
fact[0] = 1;
for(int i = 1;i <= 9; ++i) fact[i] = fact[i - 1] * i;
// 递推求阶乘
}
// 或者直接打表
int fact[10] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};
\(cantor\)函数
int cantor(int a[],int n) {
int res = 0;
for(int i = 0;i < n; ++i) {
int cnt = 0;
for(int j = i + 1;j < n; ++j) if(a[j] < a[i]) cnt ++;
// 找到a[i]是当前数列中未出现的数中第几小的
// 从1开始，即1-n的全排列
// 从0开始，就变成了0-n的全排列，记得变通
res += cnt * fact[n - i - 1];// 累加值
}
return res + 1;// 如果输出的是排名就要 + 1，如果是hash值可以直接返回 res
}
逆康托展开
因为排列的排名和排列是一一对应的，所以康托展开满足双射关系，是可逆的。
可以通过类似上面的过程倒推回来。
首先把排名\(X\) 减去\(1\) ，变成以\(0\) 开始的排名
例如求 \(1,2,3,4\) 的全排列序列中，排名第\(22\) 的序列是什么
\(22 - 1 = 21\) ， \(21\) 代表着有多少个排列比这个排列小
第一个数 \(a[1]\)
\(\lfloor{21/(4-1)!}\rfloor = 3\) 比$a[1] $ 小且没有出现过的数有\(3\) 个，\(a[1]=4\)
\(X=X\mod3\times(4-1)!=3\)
第二个数\(a[2]\)
\(\lfloor{3/(4-2)!}\rfloor=1\) 比\(a[2]\) 小且没有出现过的数有\(1\) 个，所以\(a[2]=2\)
\(X=X\mod1\times(4-2)!=1\)
第三个数\(a[3]\)
\(\lfloor{1/(4-3)!}\rfloor=1\) 比\(a[3]\) 小且没有出现过的数有\(1\) 个，所以\(a[3]=3\)
\(X=X\mod1\times(4-3)!=0\)
第四个数\(a[4]\)
\(\lfloor{0/(4-4)!}\rfloor=0\) 比\(a[4]\) 小且没有出现过的数有\(0\) 个，所以\(a[4]=1\)
最终得到数列\(4,2,3,1\)
代码
vector<int> incantor(int x,int n) {
x--;// 得到以0开始的排名
vector<int> res(n);// 保存数列答案
int cnt;
bool st[10];// 标记数组
memset(st,0,sizeof st);
for(int i = 0;i < n; ++i) {
cnt = x/fact[n - i - 1];// 比a[i]小且没有出现过的数的个数
x %= fact[n - i - 1];// 更新 x
for(int j = 1;j <= n; ++j) {// 找到a[i]，从1开始向后找
if(st[j]) continue;// 如果被标记过，就跳过
if(!cnt) {// 如果cnt == 0说明当前数是a[i]
st[j] = 1;//标记
res[i] = j;// 第i位是j
break;
}
cnt --;// 如果当前不是0，就继续往后找
}
}
return res;// 返回答案
}
