浅谈极限、微积分和泰勒展开

极限

我们考虑函数$f(x)=x^2$，显然有$f(0)=0$

对于任意$x>0$，我们从大到小取$x$，比如：

$$f(3)=9\\ f(2)=4\\ f(1)=1\\ f(0.5)=0.25\\ f(0.1)=0.01\\ \dots$$

可以发现当我们取得$x$越来越接近$0$的时候，$f(x)$也越来越接近$f(0)=0$

同样，对于任意$x<0$，从小到大取$x$，发现当我们取得$x$越来越接近$0$的时候，$f(x)$也越来越接近$f(0)=0$

我们定义从右往左逼近目标点所得到的$f(x)$的趋近值为该函数在目标点的右极限，写作：

$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)$$

同理我们可以得到左极限的定义。左极限写作：

$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)$$

在上述例子中，$\lim\limits_{x\to 0^{+}}x^2=0,\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=0$，所以我们可以直接得到极限：

$$\lim\limits_{x\to 0} x^2=0$$

但是同时我们考虑函数$f(x)=\dfrac{1}{x}$，不难发现：

$$\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty\\ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x}=-\infty$$

此时左右极限不相等，所以$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{x}$不存在

总结来说就是一个函数在$x_0$的极限存在的充分必要条件是：

$$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\not =\text{DNE(Do Not Exist)}$$

同时还有一点需要注意，极限的值定义为左右极限相等时的值，与原函数在该点的取值无关。比如以下这个函数：

$$f(x)=\begin{cases}x^2&(x\not =0)\\1&(x=0) \end{cases}$$

此时$\lim\limits_{x\to 0} f(x)$仍然等于$0$

极限运算满足如下法则：

$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\times g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\times \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\\ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$$

极限中的无穷

我们考虑$f(x)=x$，显然有$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$

但是如果我们将$f(x)$写成$\dfrac{x^2}{x}$，那么原式变为：

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{x}$$

我们运用法则：

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{x}=\dfrac{\lim\limits_{x\to 0}x^2}{\lim\limits_{x\to 0}x}=\dfrac{0}{0}$$

此时我们便会发现问题：难道$\dfrac{0}{0}=0$吗？这显然是错误的。

为了解答这个问题，我们可以回归极限的原始定义。

我们取不同的$x$逼近$0$：

$$x=1,x^2=1\\ x=0.1,x^2=0.01\\ x=0.01,x^2=0.0001\\ x=0.001,x^2=0.000001\\ \dots$$

不难发现$x^2$比起$x$趋近于$0$的速度要快了很多，所以即使$x$无限趋近于$0$，$x^2$始终比它更加接近于$0$。我们所定义的极限永远是无限接近但不相等的，所以所谓的$\dfrac{0}{0}$本就是错误的。

这就引出了一个重要的问题：无穷小量之间不一定相等，比如此处变量的次数便对“无穷小”这个量产生了影响。

由此我们引出了几个概念：等价无穷小，高阶无穷小。顾名思义，等价无穷小即趋近于极值的速度相同的变量，高阶无穷小可以粗略理解为无穷小的幂，比如上述例子中的$x^2$

同样的我们也就理解了等价无穷大，高阶无穷大

导数

我们考虑函数$f(x)=x^2$，画出它的图像：

我们计算一下$x>0$时每加上一个$1$的时候$f(x)$的变化：

$$f(1)-f(0)=1\\ f(2)-f(1)=3\\ f(3)-f(2)=5\\ \dots$$

不难发现$f(x)$之间的差值越来越大了

这是为什么？

我们观察图像也不难发现，这个函数的增长速度越来越快了

同时上面的数据也可以让我们发现增长速度和$x$的取值有关

怎么描述一个确定的$x$所对应的增长速度？

我们可以取一条直线与该函数上的这个点相交，比如我们让一条直线经过$(1,1),(2,4)$：

此时函数$f(x)=x^2$在$x=1$时的变化率可以近似为该直线的斜率

显然该直线的斜率为$3$

但是$3$这个值仍然不够准确，不够令人满意，所以我们可以将上图中的$B$点向$A$靠近，比如我们取$B$为$(1.5,2.25)$，便会得到更加接近的斜率：$\dfrac{2.25-1}{1.5-1}=2.5$

怎么才能更加接近？

使$B$的横坐标$x_B$更加接近$1$

怎么才能完全准确？

使$B$的横坐标$x_B$无限接近$1$

此时的斜率为多少？

$$\begin{equation} \begin{aligned} \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)\\ &=2 \end{aligned} \end{equation}$$

不难画出此时的图像：

这个值已经足够令人满意。

数学上便将这个值定义为该函数在这个点的导数，记作$f'(x)$，即：

$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

显然当$x$确定时$f(x)$也唯一确定，所以代入上式即可得到$f'(x)$唯一确定，所以$f'(x)$也是一个关于$x$的函数，我们称之为导函数

不难发现原函数连续是导函数存在的必要条件，但是不充分，因为可能存在某一点不可导，比如$f(x)=|x|$在$x=0$时不可导

我们再次思考得到导数的过程，导数的值是我们通过一次函数的斜率得到的，而一次函数的斜率可以写为$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$。当我们取得$\Delta x$越来越小的时候就得到了导数，所以导数也可以写成：

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

其中$\mathrm{d}$为微分符号，$\mathrm{d}x$表示一个非常小的$\Delta x$

我们在物理上学过位移、速度和加速度

速度是什么？

位移对时间求导，即：

$$v=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$

那加速度又是什么？

速度对时间求导，即：

$$a=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

那加速度和时间的关系是什么？

加速度是位移对时间的导数的导数

我们称之为二阶导，记作$f''(x)$

同样的我们可以理解更高阶的导数，我们也可以将$n$阶导数记作$f^{(n)}(x)$

求导

导数的定义基于极限，所以导数的运算法则可以由极限得到：

$$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\\ (f(x)\times g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ (\dfrac{f(x)}{g(x)})'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

这里给出两函数乘积的导数公式的简单证明：

$$\begin{equation} \begin{aligned} (f(x)g(x))'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)- f(x)g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)(f(x+\Delta x)-f(x))+f(x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}f(x)\\ &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{aligned} \end{equation}$$

对于函数$u=f(x),y=g(u)$，我们可以得到

$$y=g(f(x))$$

$y$被称为$x$的复合函数

对于复合函数求导，我们可以采用链式法则：

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$

也就是说$y$关于$x$的导数等于$y$关于$u$的导数乘上$u$关于$x$的导数

导数的乘法法则和链式法则一同即可推出导数的除法法则

给出几个常用函数的导数：

$$C'=0(C\text{为常数})\\ (x^n)'=nx^{n-1}\\ (a^x)'=a^x\ln a\\ (\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}\\ (\sin x)'=\cos x\\ (\cos x)'=-\sin x$$

以上结果均可以通过带入定义证明

积分

我们还是先看一个问题：

如何求上图中曲线$f(x)=x^2$，直线$x=1$和$y$轴围成的图形的面积？

似乎很难用几何图形计算出抛物线的相关性质

我们还是考虑近似：

我们近似的用黄色矩形的面积代替，得到结果为1

结果显然不够准确，误差很大，怎么办？

我们用两个矩形的面积和代替：

其中左边矩形的两边长$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}$，右边矩形的两边长$\dfrac{1}{2},1$，得到的总面积就是$\dfrac{5}{8}$，比起一开始更加接近了

还想精确怎么办？

我们一直这么做，直到每个矩形水平的边长为一个极小量$\mathrm{d}x$，此时该边两端点的横坐标之差非常小，小到可以忽略，不妨将这两点的横坐标都设为$x$，那么这个矩形垂直于$x$轴的边之长显然为$f(x)$，此时这个矩形的面积就可以写成$f(x)\mathrm{d}x$。然后我们再对每个矩形的面积求和即可得到总面积，记作：

$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

本题中$a=0,b=1,f(x)=x^2$

那么这个积分的结果是多少呢？

牛顿-莱布尼茨公式

如果$F'(x)=f(x)$，那么：

$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

要证明这个公式，要先知道拉格朗日中值定理：

如果函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，那么在$(a,b)$内至少存在一点$x$使得$f'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

该定理正确性可感性理解

我们将拉格朗日中值定理换个形式：

$$f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)$$

再回到牛顿-莱布尼茨公式（令$x_0=a,x_n=b$）：

$$\begin{equation} \begin{aligned} &F(b)-F(a)\\ =&F(b)-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+\dots+F(x_1)-F(a)\\ =&\sum\limits_{i=1}^nF(x_i)-F(x_{i-1})\\ =&\sum\limits_{i=1}^nF'(d_i)(x_i-x_{i-1}) \end{aligned} \end{equation}$$

其中$d_i$为拉格朗日中值定理中所存在的那个点

显然上式中$n\to \infty$时，$F'(d_i)=f(x_i),x_i-x_{i-1}=\mathrm{d}x_i$，所以原式等于：

$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

泰勒展开

考虑如下这个函数：$f(x)=\cos x$

当$x=114514$时$f(x)$等于多少？

我们发现我们似乎无法通过$\cos$直接得到$f(x)$的任意值，这和我们所接触到的很多由多项式写成的函数不一样：我们只要把$x$带入多项式就可以很快求解。

那怎么办？

我们可以人为构造一个多项式函数使其和原函数相等

我们设$f(x)=\cos x=g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots +a_nx^n$

首先当$x=0$时，$f(x)=1$，所以$g(0)=1$，代入即可知道$a_0=1$

此时我们除了$a_0$什么系数都不知道，所以只能构造出$g(x)=1$，对比图象：

发现误差很大

我们考虑函数的变化趋势，如果$f(x)$和$g(x)$的变化趋势一致，再加上$f(0)=g(0)=1$，那么我们就可以构造出较为精确的函数$g(x)$

什么叫$f(x)$和$g(x)$的变化趋势一致？

$$f'(x)=g'(x)$$

代入：

$$-\sin x=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\dots$$

当$x=0$时：

$$0=a_1$$

我们便得到了第二个系数

虽然此时我们构造出的函数仍然是$g(x)=1$，但是我们得到了更多的系数

为什么$g(x)$和$f(x)$仍然相差很大？

因为变化率的变化率不一样

具体地说，$f(x)$在$x=0$时的变化率是$0$，但是并不是所有地方的变化率都不变均为$0$，而我们构造出的$g(x)$的变化率始终是$0$

怎么使变化率的变化率还一样？

$$f''(x)=g''(x)$$

计算：

$$-\cos x=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\dots$$

代入$x=0$：

$$-1=2a_2\\ a_2=-\dfrac{1}{2}$$

此时我们构造出的$g(x)=1-\dfrac{1}{2}x^2$

对比图像：

继续往下求更高阶的导数？

$$\sin x=6a_3+24a_4x+60a_5x^2+\dots\\ a_3=0\\ \cos x=24a_4+120a_5x+\dots\\ a_4=\dfrac{1}{24}\\ \dots$$

我们再看一下到$a_4$计算完成为止$g(x)=1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4$的图像：

不难发现我们只要一直这样求下去就能得到结果

但是同时我们发现一个问题：$f(x)=\cos x$可以求无数次导，也就是说$g (x)$有无限项，此时我们计算到哪一步取决于我们的精度要求

形式化的写出$g(x)$：

$$\cos x=g(x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dots$$

总结一下上面的过程，我们可以得到一个公式：

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3+\dots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

能不能不从$(0,1)$入手？比如我们取$(\dfrac{\pi}{2},0)$作为起始点可不可以？

答案是当然可以

所以我们如果从$(x_0,f(x_0))$入手的话：

$$f(x)=\sum\limits_{i=0}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$$

这就是泰勒公式，上述过程被称为泰勒展开

所以我们同样可以得到$\sin x$的泰勒展开形式：

$$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dots$$

我们考虑$f(x)=e^x$的泰勒展开式。由于$(e^x)'=e^x\ln e=e^x$，所以$f(x)$在$x=0$处的展开为：

$$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots$$

所以：

$$\begin{equation} \begin{aligned} e^{ix}&=1+ix+\dfrac{i^2x^2}{2!}+\dfrac{i^3x^3}{3!}+\dots\\ &=(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dots)+i(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dots)\\ &=\cos x+i\sin x \end{aligned} \end{equation}$$

当$x=\pi$时：

$$e^{i\pi}=-1\\ e^{i\pi}+1=0$$

由此我们便证明了欧拉公式