矩阵乘法例题讲解

1.定长路径统计

给出一个$n$个点$m$条边的有向图，每次给出三个整数$u,v,k$，求有多少条从$u$到$v$的路径长度为$k$（不一定为简单路径）

我们用邻接矩阵$G$存储这个图，$G_{u,v}$表示从$u$到$v$的边数

令$F_k$为长度为$k$的路径条数构成的矩阵，显然有：

$$F_{k_{i,j}}=\sum\limits_{k=1}^{n} F_{k-1_{i,k}}\times G_{k,j}$$

我们将其看作是两个矩阵相乘：

$$F_k=F_{k-1}\times G$$

那么显然有：

$$F_k=G^{k}$$

矩阵快速幂即可

2.定长路径统计*

给出一个$n$个点$m$条边的有向图，每次给出三个整数$u,v,k$，求有多少条从$u$到$v$的路径长度小于等于$k$（不一定为简单路径）

我们把每个点加一条连向自己的边权为$1$的边，跑矩阵快速幂即可

3.「LibreOJ 6208」树上询问

给出一棵有$n$个节点的树，根节点为$1$号节点每个节点有两个值$k,t$，初始均为$0$
每次进行如下$3$种操作之一：
$1.\operatorname{Add}(x,d)$：将$x$到根节点路径上每个点的$k_i\leftarrow k_i+d$
$2.\operatorname{Mul}(x,d)$：将$x$到根节点路径上每个点的$t_i\leftarrow t_i+d\times k_i$
$3.\operatorname{Query}(x)$：求$t_x$
$1\le n,m\le 10^5,-10\le d\le 10$

直接树剖确实可以做，但是比较麻烦，我们用矩阵来刻画每个操作：

$\operatorname{Add}$：

$$\begin{bmatrix}t_i &k_i&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&d&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t_i&k_i+d&1\end{bmatrix}$$

$\operatorname{Mul}$：

$$\begin{bmatrix}t_i &k_i&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\d&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t_i+d\times k_i&k_i&1\end{bmatrix}$$

然后树剖维护即可

4.[TJOI2019]甲苯先生的字符串

给出一个仅有小写字母字符串$S_1$，求满足如下条件的字符串$S_2$有多少种：
$1.S_2$长度为$n$
$2.S_2$仅由小写字母构成
$3.S_1$中长度为$2$的任意连续子串在$S_2$中不能出现
$1\le n\le 10^{15}$

我们将小写字母映射为数字，即$a=1,b=2\dots z=26$

令$dp_{i,j}$为长度为$i$且当前字符为$j$的合法字符串数量，显然有：

$$dp_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{26}dp_{i-1,k}[kj\not\in S_1]$$

我们预处理出后面那个东西，令它为$w$，那么就有：

$$dp_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{26}dp_{i-1,k}\times w_{k,j}$$

$n$很大，暴力$dp$会炸掉，发现上面的转移方程是矩阵乘法的形式，可以用矩阵优化：

原矩阵：

$$\begin{bmatrix}dp_{i,1}&dp_{i,2}&\cdots&dp_{i,26}\end{bmatrix}$$

base矩阵：

$$\begin{bmatrix}w_{1,1}&w_{1,2}&\cdots&w_{1,26}\\w_{2,1}&w_{2,2}&\cdots&w_{2,26}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\w_{26,1}&w_{26,2}&\cdots&w_{26,26}\end{bmatrix}$$

5.[SHOI2013]超级跳马

现有一个 $n$ 行 $m$ 列的棋盘，一只马欲从棋盘的左上角跳到右下角。每一步它向右跳奇数列，且跳到本行或相邻行。跳跃期间，马不能离开棋盘。例如，当 $n=3,m=10$ 时，下图是一种可行的跳法。

求总方案数。
$1\le n\le 50,2\le m\le 10^9$

设$dp_{i,j}$为跳到$(i,j)$的方案数，显然当只往右跳$1$格时有：

$$dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i,j-1}+dp_{i+1,j-1}$$

考虑到如果能一次跳到$(i,j)$，那么肯定也可以一次跳到$(i,j-2)$，所以转移方程即为：

$$dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i,j-1}+dp_{i+1,j-1}+dp_{i,j-2}$$

直接$dp$发现$O(nm)$的复杂度接受不了，考虑矩阵优化（以$n=3$为例）：

原矩阵：

$$\begin{bmatrix}dp_{1,j}&dp_{2,j}&dp_{3,j}&dp_{1,j-1}&dp_{2,j-1}&dp_{3,j-1}\end{bmatrix}$$

base矩阵：

$$\begin{bmatrix}1&1&0&1&0&0\\1&1&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\end{bmatrix}$$

注意到$n$非常小，故以上做法可以通过