【数学】浅谈三角函数

upd:本文图片已炸，未修，咕咕咕

锐角三角函数

1.定义

我们先看一个直角三角形：

我们对于锐角$∠A,∠C$定义几个函数$\sin$（正弦）,$\cos$（余弦）,$\tan$（正切）：$\sin$为对边与斜边的比值，$\cos$为邻边与斜边的比值，$\tan$为对边与邻边的比值。

（注意三角函数是以角度为自变量的函数。）

或者形式化的说：

$\sin A=\dfrac{a}{b},\cos A=\dfrac{c}{b},\tan A=\dfrac{a}{c}$

$\sin C=\dfrac{c}{b},\cos C=\dfrac{a}{b},\tan C=\dfrac{c}{a}$

由上述定义可得：

$\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{b}}=\dfrac{a}{c}=\tan A$

$\sin^2 A+\cos^2 A=(\dfrac{a}{b})^2+(\dfrac{a}{c})^2=\dfrac{a^2+c^2}{b^2}=1$

$\sin \alpha=\cos(90°-\alpha)$

2.三角函数特殊值

由上述定义可以得到一些特殊角的三角函数值：

（显然$\tan90°$不存在）

以上$\sin,\cos$值读者可以自己尝试着画三角形按定义得到（比如等腰直角三角形的边之比是$1: 1:\sqrt{2}$，由此可得$45°$角的三角函数值），$\tan$可以用$\dfrac{\sin}{\cos}$得到，在此不进行推导

3.练习

现在你已经掌握了三角函数，快来解题吧！

练习1

已知$∠B=90°，∠A=\theta,AC=x$，求$AB,CB$

解：
$AB=AC\times\dfrac{AB}{AC}=x\cos \theta$

$CB=AC\times\dfrac{CB}{AC}=x\sin \theta$

练习2

已知$\tan \alpha =2$，求$\dfrac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha-\cos\alpha}$

解：
原式
$=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}$

$=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}$

$=\dfrac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}$

$=\dfrac{2+1}{2-1}$

$=3$

练习3
已知$\tan \alpha =2$，求$\sin^2\alpha$

解：
原式
$=\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}$

（$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$）

$=\dfrac{\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}$

$=\dfrac{\tan^2\alpha}{\tan^2\alpha+1}$

$=\dfrac{4}{4+1}$

$=\dfrac{4}{5}$

任意角和弧度制

1.任意角

我们重新定义一个角：

在一个平面直角坐标系中，以$x$轴正半轴为一条边（我们称为始边），逆时针旋转一个角度，最终得到一个边（我们称为终边），这个始边和终边构成了一个角，它的角度就是旋转的角度。

显然一个角的始边和终边确定时角度不确定（因为我们不知道始边旋转了几圈），而角度确定时始边和终边是确定的。

我们把终边落在第一象限的角称为第一象限角，其余象限同理。

显然对于始边和终边都确定的角，设始边和终边的夹角为$x°$，则与其始边和终边都相同的角度为$x°+360°\times k(k\in \Z)$，即多转$360°$仍会回到原位。

2.弧度制

我们以前一直用度数来表示一个角的大小，但$1°$是人为规定的不够优美，所以我们重新定义一个单位：弧度(rad)为当前角度所对弧长与半径的比值

据此我们可得到「度」和「rad」之间的关系：

设当前角为$x°$，则所对应的弧度等于
$\dfrac{\dfrac{x}{360} \times 2\pi r}{r}=\dfrac{x}{180}\pi(rad)$

所以易得一些常见角度的弧度表示：

$30°=\dfrac{\pi}{6}$

$45°=\dfrac{\pi}{4}$

$60°=\dfrac{\pi}{3}$

$90°=\dfrac{\pi}{2}$

$180°=\pi$

$360°=2\pi$

注意书写角度时若使用弧度制则可以省略单位rad，但使用°则不能。

所以我们可以得到各个象限角的范围：

第一象限角：$(2k\pi,2k\pi+\dfrac{\pi}{2})(k\in \Z)$

第二象限角：$(2k\pi+\dfrac{\pi}{2},2k\pi+\pi)(k\in \Z)$

第三象限角：$(2k\pi+\pi,2k\pi+\dfrac{3}{2}\pi)(k\in \Z)$

第四象限角：$(2k\pi+\dfrac{3}{2}\pi,2k\pi+\pi)(k\in \Z)$

本文从此往后大多使用弧度制讨论角的大小，建议读者熟悉此段

那么就会有个问题：弧度制有什么用呢？为什么我们要舍弃原有的制度重新定义一种计量方式呢？

我们可以注意到在弧度制里面所有的角度都和实数进行了一一对应，那么也就为下面的任意角三角函数提供了支持。

任意角三角函数

1.定义

显然如果照我们以前用直角三角形来定义三角函数的话定义域只有$[0,\dfrac{\pi}{2}]$，所以我们重新定义三角函数：

在一个平面直角坐标系（如图）中，以$O$为圆心作半径为$r$的圆（我们称$r=1$的圆为单位圆）。在这个圆上任取一点$P(x,y)$，定义$PO$与$x$轴正半轴夹角$\theta$的三角函数值为：

(此图中$x=h,y=g$)

$\sin\theta=\dfrac{y}{r}$

$\cos\theta=\dfrac{x}{r}$

$\tan\theta=\dfrac{y}{x}$

显然当$P$在第一象限即$\theta$为第一象限角时，三角函数的定义与之前相同，但是在平面直角坐标系中定义三角函数就使得其可以不受直角三角形的限制，扩展到任意象限角。

显然对于不同象限的角，$\sin,\cos,\tan$的值的正负是不同的：

在第一象限中，$x>0,y>0,r>0$，所以$\sin$为正，$\cos$为正，$\tan$为正；

在第二象限中，$x<0,y>0,r>0$，所以$\sin$为正，$\cos$为负，$\tan$为负；

在第三象限中，$x<0,y<0,r>0$，所以$\sin$为负，$\cos$为负，$\tan$为正；

在第四象限中，$x>0,y<0,r>0$，所以$\sin$为负，$\cos$为正，$\tan$为负；

方便记忆，我们可以说从第一到第四象限符号为正的有：全部，正弦，正切，余弦，所以我们可以用“全正切余”来记忆 默念114514遍就记下来力

2.诱导公式

显然我们有了任意角及其三角函数的定义，那么如果要计算$\sin 114514°$，显然不容易计算。我们希望使得自变量是我们熟悉的值，于是我们有了「诱导公式」

顾名思义，诱导公式有「诱导」的作用，在这里就是把任意角诱导到第一象限角。

先来个问题：$\sin 2\pi$等于多少？

显然$2\pi=0+2\pi$，即角度为$0$的角旋转了一圈，所以$2\pi$的终边和$0$的终边相同，那么$\sin 2\pi=\sin 0=0$（$\cos$同理）

就此我们得到了第一组诱导公式：

$$\sin (\alpha+2\pi)=\sin\alpha$$

$$\cos (\alpha+2\pi)=\cos\alpha$$

（本段只讨论$\sin$和$\cos$的诱导公式，其余如$\tan,\sec,\csc$等都可以通过$\sin$和$\cos$推出来）

显然对于任意角我们都可以使用以上公式将其转化为$[0,2\pi)$之中的角。

接下来我们考虑如何将二、三、四象限的角诱导到第一象限：

$\sin (\alpha+\pi)=?\ (\alpha \in (0,\dfrac{\pi}{2}))$

我们回归任意角三角函数的定义：$\alpha$加上$\pi$就相当于$\alpha$的终边和单位圆的交点（不妨设为$P(x_1,y_1)$）绕原点作中心对称得到点$Q(x_2,y_2)$。显然$x_2=-x_1,y_2=-y_1$，根据三角函数的定义有：

$$\sin (\alpha+\pi)=\dfrac{y_2}{r}=-\dfrac{y_1}{r}=-\sin \alpha$$

$$\cos (\alpha+\pi)=\dfrac{x_2}{r}=-\dfrac{x_1}{r}=-\cos \alpha$$

这样我们就得到了第二组诱导公式；

我们继续考虑：

$\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=?\ (\alpha \in (0,\dfrac{\pi}{2}))$

我们画个图：

其中$B(x,y)$

根据初二知识可知$BC=y=OE,OC=x=DE$，所以$D(-y,x)$，所以有：

$$\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{x}{r}=\cos\alpha$$

$$\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{-y}{r}=-\sin\alpha$$

后面给大家留个思考题:

$$\sin(\alpha + \dfrac{3}{2}\pi)=?$$

$$\cos(\alpha + \dfrac{3}{2}\pi)=?$$

同样可以用上述方法画图求解。

那么问题来了：怎么记忆诱导公式呢？

世上普遍流传着非常有名的一句话：

奇变偶不变，符号看象限

那么这句话什么意思呢？

比如对于$\sin(\alpha+k\pi)$，如果$k$是$\dfrac{1}{2}$的奇数倍那么$\sin$就要变成$\cos$，$\cos$就要变成$\sin$反之不变，这就是「奇变偶不变」；

然后我们把$\alpha$当作第一象限角，看$\alpha+k\pi$在第几象限，最终结果的符号就是该象限角的$\sin$或$\cos$的符号。这就是「符号看象限」。

说着有点复杂？

举个例子，就用我们的思考题：

$$\sin(\alpha+\dfrac{3}{2}\pi)=?$$

首先发现这里$k=\dfrac{3}{2}$，是$\dfrac{1}{2}$的三倍，所以$\sin$要变成$\cos$；

如果$\alpha$是第一象限角，那么$\alpha+\dfrac{3}{2}\pi$显然是第四象限角，在第四象限$\sin$为负，所以结果为负；

综合起来就可以得到：

$$\sin(\alpha+\dfrac{3}{2}\pi)=-\cos\alpha$$

3.三角函数的图像

我们将三角函数定义到弧度制上，同时弧度值也和实数一一对应，所以我们就可以对于任意实数得到唯一一个三角函数值，我们以该实数为自变量，三角函数值为因变量，就可以得到三角函数的图像。

同时，我们有$\sin(\alpha+2\pi)=\sin \alpha,\cos(\alpha+2\pi)=\cos\alpha$，又$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，所以显然这三个三角函数都是周期为$2\pi$的函数。

带入值计算即可得到对应的图像：