别在int与float上栽跟头

　　int与float是我们每天编程都用的两种类型，但是我们真的足够了解它们吗。昨天在博客园看到一个比较老的笑话: “昨天晚上下班回家，一民警迎面巡逻而来。突然对我大喊：站住！民警：int 类型占几个字节？  我：4 个。  民警：你可以走了。  我：为什么问这样的问题？　民警：深夜还在街上走，寒酸苦逼的样子，不是小偷就是程序员。”（注：看到有朋友评论说占几个字节跟具体的环境有关，学过C++的都知道，在C++这样的语言中确实取决于环境，但是在Java跟C#中不管什么环境都规定是4个字节，所以后边我们只讨论4个字节的情况）

　　看完这个笑话，我脑袋立马将float、double等类型的字节长度闪了个遍。我知道float也占4个字节，但存储结构跟int是不一样的，并且表示范围也不一样。紧接着就出现了一个疑问，到底哪些int值是float不能表示的呢？如果你回答不了这个问题，那还是好好地了解一下吧，如果我说的不够清楚，请多查点其他的资料看一下。

　　为什么有些int是float表示不了的呢？因为int与float同样占4个字节，float表示的范围又比int大并且还包含很多小数，那int的每个值都能被float表示就是不可能的事情了。在平时的编程中好像也没有感觉什么不对呀，这是为什么呢？先把这个问题留到后边，原理说清楚了再来回答这个问题。在文章的下边帖了一个进制转换程序，方便大家使用。

 

一. 小数十进制与二进制的转换

　　二进制转换成十进制：跟整数转换一个原理，例如二进制11.11转换为十进制 1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2=3.75。

　　十进制转换成二进制：整数部分不用说了，跟整数的十进制转成二进制没有区别。小数部分采用乘2取整的方式，比如3.75整数部分对应的二进制是11。小数部分0.75，先乘以2等于1.5，取1.5的整数部分1。再用0.5（上次乘2的结果的小数部分）乘以2等于1.0，取1.0的整数部分1，现在已经没有小数部分了，终止。0.75对应的二进制就是.11。

　　所以3.75对应的二进制是11.11。注意这里的3.75和1.11只是浮点数十进制与二进制的不同表示形式，存储结构是一样的，因为本来就是同一个数。内存结构又是怎么样的呢，下边介绍。

 

二. float的存储结构

　　float也是占32位，第一位是符号位（sign），符号位后边8位是指数（exponent），最后23位是尾数（mantissa）。

　　float值的二进制表示形式是：sign* mantissa* 2^exponent。注意这个表达式是对应上述存储结构的二进制。

　　符号位，表述浮点数的正或者负，0代表正，1代表负。

　　指数位，实际也是有正负的，但是没有单独的符号位，在计算机的世界里，进位都是二进制的，指数表示的也是2的N次幂，8位指数表达的范围是0到255，而对应的实际的指数是－127到128。也就是说实际的指数等于指数位表示的数值减127。这里特殊说明，－127和＋128这两个指数数值在IEEE当中是保留的用作多种用途的，这里就不多做介绍了，有兴趣的可以查阅其他资料。

　　尾数位，只代表了二进制的小数点后的部分，小数点前的那位被省略了，当指数位全部为0时省略的是0否则省略的是1，为什么呢，看个例子：

　　二进制11.11表示成指数形式是1.111*2¹，0.1111表示成指数形式是1.111*2^-1。由此可见，正常情况下二进制的指数形式是肯定有一个1的，所以存储的时候直接省略。但是在指数位全部为0时，指数是-127，这个数字是有特殊含义的，在尾数全部为0时代表的数值是0，省略的那位是0，如果省略的是1那么0这个数字就没法用float表示了。

　　

　　结合例子理解一下

　　那我们就看一下3.75的内存结构到底是什么样子的。首先转化成二进制形式11.11。转化成二进制指数形式1.111*2¹。由此我们可以得知尾数部分是111（将1省略掉了），不足23位的后边补0，指数部分是1+127=128，对应二进制10000000。所以存储结构就是01000000011100000000000000000000。

　　反过来转换一下，比如某个float的存储结构是 01000000011100000000000000000000，符号位是正的，指数位是128，实际的指数是128-127=1，尾数是111，再加上省略的那位就是1.111。所以对应的二进制指数形式是1.111*2¹，对应的二进制是11.11，对应的十进制是3.75。

　　到这里我们就可以看出，实际上尾数决定了浮点数的精度，尾数只有23位，加上省略的那位就是24位。如果一个int类型的值小于2²⁴，那么float是完全可以表示的。如果int类型大于2²⁴就不一定能表示了。假如一个int数值的二进制表示形式是100000000000000000000000，表示成指数形式是1.00000000000000000000000*2²³，对应的float的类型，尾数位全部为0，指数位是23+127=150，这样完全没有问题。假如一个int数值的二进制表示形式是1000000000000000000000001，表示成指数形式是1.000000000000000000000001*2²⁴，对应的float的类型尾数位是000000000000000000000001一共24位，这样就完全超出了float最多容纳23位尾数的能力。所以就不能正确表达这个int值了。由此也可以得出不能被float准确表达的最小int值是2²⁴+1。我们再将1000000000000000000000001的值加1，变成了1000000000000000000000010，这样变换为指数形式可以看出尾数又变为了23位，也就是说25位的二进制整数最后一位是0才能被float准确表示，每2个数就有一个不能被准确表示。如果是26位的二进制整数最后两位都是0才可以被float准确表达，每4个数就有3个不能被准确表示，以此类推。

　　现在再来回答为什么在编程的过程中似乎没怎么引起注意，这是因为，我们平时用的数值基本都小于2²⁴+1=16777217。

 

下边是在网上找的一个二进制在线转换器，方便大家使用。