动态规划：打家劫舍系列
198. 打家劫舍
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。
输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。
思路
动规五部曲
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。 -
确定递推公式
dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]); -
dp数组如何初始化
本题递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]); -
确定遍历顺序
dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历。 -
举例推导dp数组
代码
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if(nums.length == 0){
return 0;
}
if(nums.length == 1){
return nums[0];
}
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0],nums[1]);
for(int i=2;i<nums.length;i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
}
return dp[nums.length-1];
}
}
213. 打家劫舍 II
思路
这道题目和 198.打家劫舍 是差不多的，唯一区别就是成环了。
对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
- 情况一：考虑不包含首尾元素
- 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素
- 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。
代码
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
int length = nums.length;
if (length == 1) {
return nums[0];
} else if (length == 2) {
return Math.max(nums[0], nums[1]);
}
return Math.max(robRange(nums, 0, length - 2), robRange(nums, 1, length - 1));
}
public int robRange(int[] nums, int start, int end) {
int first = nums[start], second = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);
for (int i = start + 2; i <= end; i++) {
int temp = second;
second = Math.max(first + nums[i], second);
first = temp;
}
return second;
}
}
337. 打家劫舍 III
在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。
计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。
输入: [3,2,3,null,3,null,1]
3
/ \
2 3
\ \
3 1
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 3 + 3 + 1 = 7.
输入: [3,4,5,1,3,null,1]
3
/ \
4 5
/ \ \
1 3 1
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 4 + 5 = 9.
思路
这道题目算是树形dp的入门题。
递归三部曲
-
确定递归函数的参数和返回值
这里要求一个节点偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。 -
确定终止条件
在遍历的过程中，如果遇到空节点无论偷还是不偷都是0。 -
确定遍历顺序
使用后序遍历。
通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
代码
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode() {}
* TreeNode(int val) { this.val = val; }
* TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
* this.val = val;
* this.left = left;
* this.right = right;
* }
* }
*/
class Solution {
public int rob(TreeNode root) {
int[] res = robTree(root);
return Math.max(res[0],res[1]);
}
// 长度为2的数组，0：不偷，1：偷
public int[] robTree(TreeNode cur){
if(cur == null){
return new int[2];
}
int[] left = robTree(cur.left);
int[] right = robTree(cur.right);
//偷cur
int val1 = cur.val + left[0] + right[0]
//不偷cur
int val2 = Math.max(left[0],left[1]) + Math.max(right[0],right[1]);
return new int[]{val2,val1};
}
}
