动态规划：零钱兑换

322. 零钱兑换

给你一个整数数组coins，表示不同面额的硬币；以及一个整数amount，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回-1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

思路

每种硬币的数量是无限的，典型的完全背包问。

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式
   dp[j]只有一个来源dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]），所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
   递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])；

3. dp数组如何初始化
   首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
   考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
   所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4. 确定遍历顺序
   本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
   本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序。

5. 举例推导dp数组
   

代码

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount+1];

        for(int i=1;i<=amount;i++){
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE;//必须初始化为一个最大的数，否则比较的过程中会被初始值覆盖
        }
        for(int i=0;i<coins.length;i++){ // 遍历物品
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){// 遍历背包
                if(dp[j-coins[i]] != Integer.MAX_VALUE){// 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
        if(dp[amount] == Integer.MAX_VALUE){
            return -1;
        }
        return dp[amount];
    }
}