动态规划：零钱兑换 II

518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组coins表示不同面额的硬币，另给一个整数amount表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

tips

• 求装满背包有几种方法
• 组合与排列

思路

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包，但和纯完全背包不一样，本题是要求凑成总金额的个数！

注意题意为凑成总金额的硬币组合数（组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序）。
示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
如果是排列数，上面就是两种排列了。

动规五步曲

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式
   dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。
   所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]。
   求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3. dp数组如何初始化
   首先dp[0]一定要为1，凑成总金额0的货币组合数为1。
   下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]。

4. 确定遍历顺序
   纯完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的，但本题就不行。

外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

把两个for交换顺序：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！

5. 举例推导dp数组
   

代码

    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=0;i<coins.length;i++){// 遍历物品
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){// 遍历背包
                dp[j] +=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }