动态规划：目标和

494. 目标和

给你一个整数数组nums和一个整数target。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。
  返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目。

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

思路

可以套组合总和的回溯法代码，但无论哪种回溯法，时间复杂度都是O(2^n)级别，最后会超时。

最后将问题就转化为：装满容量为x背包有几种方法。

注意 (S + sum) / 2 应该担心计算过程中向下取整的影响，例如sum=5，S=2的话就是无解的。

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包有多少种方法。

2. 确定递推公式
   不考虑nums[i]的情况下，填满容量为j - nums[i]的背包，有dp[j - nums[i]]中方法。

dp[i] += dp[j - nums[j]]

3. dp数组如何初始化
   dp[0] = 1，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品。
   dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0。

4. 确定遍历顺序
   01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

5. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 =   (3 + 5) / 2 = 4

动态规划

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。要求的是 x - (sum - x) = S，所以x = (S + sum) / 2。

代码

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int num:nums) sum+=num;
        if(sum < target) return 0; //没有方案
        if( (sum+target)%2 == 1) return 0; //向下取整的影响,没有方案
        int bagSize = (sum+target)/2;
        int[] dp = new int[bagSize+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            for(int j = bagSize;j>=nums[i];j--){
                dp[j] += dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
}