动态规划：背包问题
01 背包
背包问题的理论基础是01背包。
有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
例子：
背包最大重量为4。
| 物品 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
| 问背包能背的物品最大价值是多少？ |
动规五部曲
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确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
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确定递推公式
可以有两个方向推出来dp[i][j]，- 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
- 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
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dp数组如何初始化
首先如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
由状态转移方程可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。dp[0][j]为存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
// 初始化需要倒叙遍历，如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
- 确定遍历顺序
有两个遍历的维度：物品与背包重量。两者哪个先遍历其实都可以，但是先遍历物品更好理解。
先遍历物品，然后遍历背包重量：
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
先遍历背包，再遍历物品:
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
- 举例推导dp数组
来看一下对应的dp数组的数值，如图：
代码
public static void main(String[] args){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 二维数组
int[][] dp = new int[weight.length][bagWeight + 1];
// 初始化
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
System.out.println(dp[weight.length - 1][bagWeight]);
}
一维dp数组（滚动数组）
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])。如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])，再进一步可以只用一个一维数组，只用dp[j]（一维数组，理解成一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
动规五部曲
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确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。 -
一维dp数组的递推公式
dp[j]可以通过dp[j - weight[j]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值，dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 j - 物品i重量的背包加上物品i的价值。
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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一维dp数组如何初始化
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。 -
一维dp数组遍历顺序
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。倒叙遍历每次取得状态不会和之前取得状态重合，保证物品i只被放入一次。
二维dp数组历的时候不用倒叙是因为本层的dp[i][j]并不会被覆盖。
for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
- 举例推导dp数组
一维dp，费用用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：
代码
public static void main(String[] args){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
System.out.println(dp[bagWeight]);
}
