动态规划：给n个节点，可以组成多少个不同的二叉搜索树

96. 不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的二叉搜索树有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

输入：n = 3
输出：5

思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i] ：1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

2. 确定递推公式
   dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
   j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
   所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3. dp数组如何初始化
   初始化，只需要初始化dp[0]就可以了。
   从定义上来讲，空节点也是一颗二叉树，所以初始化dp[0] = 1。

4. 确定遍历顺序
   首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
   那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

5. 举例推导dp数组
   n为5时候的dp数组状态如图：
   

代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}