动态规划：整数拆分

343. 整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

思路

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

2. 确定递推公式
   dp[i]最大乘积：可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i]。

   • 一个是j * (i - j) 直接相乘。
   • 一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)。
     j是从1开始遍历，在遍历j的过程中其拆分的情况都计算过了。
     递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

3. dp的初始化
   严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
   所以只初始化dp[2] = 1(拆分数字2，得到的最大乘积是1)。

4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
   枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]，正好可以通过初始化的数值求出来。

5. 举例推导dp数组
   举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
   

代码

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<i-1;j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max((i-j)*j,dp[i-j]*j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}