[辐射基础] 必须要弄懂系列之 (2) 表面辐射特性

关键词：朗伯表面 非朗伯表面 镜面 作者：李二 日期：6/11/2020 - 9/11/2020

0. 前言

上篇博文的末尾，我们说到，既然我们创建各种辐射度量的目的是为了描述地物的辐射状况，那么我们来具体看一下地物到底有哪些典型的辐射状况呢。

我相信这一部分大家还是比较熟悉的，无非是朗伯辐射、非朗伯(或各向异性)辐射，特殊的还有镜面辐射。

但是容我抛出两个问题：

• 1. 朗伯辐射是否真实存在，现在的技术水平能否制作出真正的朗伯表面？
• 2. 描述朗伯辐射时常常会见到下面展示的两个小图，二者是冲突的吗？有什么关系吗？

我预测能够回答清楚的人并不多。期望各位朋友可以在本文中找到答案。

1. 朗伯先生的《Photometria》

我想我们可以稍微讲点历史了（我向来喜欢各种历史，这样才能更清楚地把握脉络）。

1760年，瑞士数学家、物理学家及天文学家约翰·海因里希·朗伯(Johann Heinrich Lambert)出版了拉丁文版本的《Photometria》一书。这本书主要讲了如何对光进行描述和测量，奠定了现代光度学的基础。

朗伯先生在书中明确证明了我们在辐射度学和遥感中广泛使用的三个定律：

• 1. 辐照度的朗伯余弦定律（上篇博文讲过）
• 2. 辐照度的平方反比定律
• 3. 光在均匀吸收介质中的指数衰减规律

除此之外，朗伯先生还在书中假设了这样一个辐射表面：

该辐射表面在某个方向上的辐射强度(radiant intensity, I)随该方向和表面法线之间夹角的余弦而变化。

这就是大名鼎鼎的朗伯表面 (Lambertian surface)，当然这个名字是后世人为纪念朗伯先生而命名的。Lambertian这个词也已经被加入了西方国家多种语言的词典中。

这里有些朋友可能怀疑说，咱们各种书中给朗伯表面的定义是：在任意发射（漫射、透射）方向上辐亮度(radiance, L)不变的表面，那刚刚说的是不是有问题。

答：没有问题。综合各种接近原版的资料（原版拉丁文看不懂），朗伯先生定义朗伯表面时就是用的辐射强度，采用的是上面那个公式。 另外，这两个定义是相通的，我们稍后会讲。

可以说，天不生朗伯，辐射度学与遥感科学如漫漫长夜。

然而，令人遗憾的是，由于当时光学研究的中心问题是：光的本质是什么？而朗伯先生的工作与该问题完全无关，因此《Photometria》并未得到快速的认可，也未纳入光学科学的主流。直到该书发表近一个世纪后，由于天文学科和燃气照明商业的需要，该书才被广泛认可和使用。

现在，朗伯先生书中的内容已经奠定了光源照度计算、计算机图形学中渲染、遥感辐射建模的基础。

对朗伯先生的生平历史感兴趣的朋友，请点击。

2. 完美的表面辐射--朗伯表面辐射

我们似乎有一种执念，就是一提到朗伯的 Lambertian，就必须各个方向各种东西完全一样才行。好吧，我们慢慢来推导一下，看看到底如何。不过还是先从《Photometria》书中的定义开始吧。

朗伯表面的定义：在某个方向上的辐射强度随该方向和表面法线之间夹角的余弦而变化（图2-1）。

其中为朗伯表面的法线方向的辐射强度，为与朗伯表面法线夹角为的方向的辐射强度。

有点意思的是，如果以代表法线方向上的辐射强度值的线段为直径作一与表面相切的球，那么由表面的中心向某角方向所作的到球面交点的矢量长度，就表示该方向辐射强度的大小。（图2-1）

我们先推导一下辐亮度与的关系：

根据 ; 那么有

这说明：朗伯表面在任意辐射方向上辐亮度(radiance, L)保持不变 （图2-2 右图）。因此也朗伯面也被称为各向同性表面。这样我们就解答了前言中抛出的第二个问题。

另外可以顺便看一下朗伯表面各个方向的辐射出射度(radiant exitance, M)和辐射通量(Φ)有什么差别：

对于辐射出射度：

; 那么 , 也就是说各个方向的辐射出射度是相同的。

对于辐射通量：

; 那么 ，也就是说在某个方向上的辐射通量随该方向和表面法线之间夹角的余弦而变化。

图2-1. 朗伯表面的辐射强度示意图

图2-2. 朗伯表面的辐射强度(左图)与辐亮度(右图)对比示意图

朗伯面的辐射度量之间还有一些简单的关系。比如 朗伯面的辐射出射度 M 与辐亮度之间有如下关系：

举个常用的例子，日光条件下，通常包含直射光 和天空光 两部分，而天空光通常被认为是各向同性的（设辐亮度为），那么某一地物面元接收到的入射辐照度是：

注意：这里就不必再乘以了，因为在算积分的时候，已经用乘以了。

需要注意的是，朗伯先生在书中是假设存在这样一种完美的表面，而这一表面是否真实存在呢？

• 一些磨砂的表面(比如：A4纸)，可以大致认为是朗伯表面，但是并不严谨。
• 辐射传输建模时，叶片表面也被认为是朗伯面，但这是一种极大的简化，而且有文献证明叶片表面时非朗伯的。
• 混凝土路面和沥青路面，也常被视为朗伯面，主要是用于机载遥感数据的处理中。

美国 Labsphere 蓝菲光学公司的制造的标准朗伯板（注册商标Spectralon的专利产品(好多人直接用该商标代替朗伯板的名称，可见多么深入人心)）是目前世界上最优秀的朗伯板之一，采用PTFE(聚四氟乙烯， Polytetrafluoroethylene)。

事实上，目前的技术已经能够接近实现制作出完美无憾的朗伯表面了。

3. 自然地物表面基本为非朗伯面

可以肯定的说，自然界中的地物表面，应当都是非朗伯的 Non-Lambertian。

非朗伯的意思也很明确：即不满足朗伯假设时的公式： 或 。因此非朗伯表面又被称为各向异性表面。

光辐射能在非朗伯表面上的反射，呈现不同程度的漫反射。漫反射的程度，则很大程度上取决于表面粗糙的状况（如颗粒尺寸和分布等）。

不同地物各自具体的非朗伯特性(或漫反射特性)差异很大，比如有的地物(诸如植被冠层)有明显的后向散射(图3-1d)，有的地物(诸如接近镜面的地表)有明显的前向散射(图3-1c)，有的地物各向散射没有明显规律(图3-1b)。

图3-1. 朗伯辐亮度示意图(a) 与 自然地物表面的非朗伯辐亮度示意图(b-d)

上一节说到的例子，天空光。其实天空光是非朗伯的，在太阳方向的辐亮度会更大一些，所以表示天空光辐照度的公式是：

4. 特殊的镜面

首先需要定义什么是镜面(specular surface)：表面粗糙度远小于入射光波长的表面，可以视为镜面或者光滑表面。

言下之意，镜面并不是绝对的，可能一个表面对于某些波长是镜面，而对于某些波长则不是镜面而是粗糙表面。

理想镜面的特殊性体现在：

仅有一个反射辐射方向，且该反射辐射方向与入射方向对称。

有趣的是，假如只有直射光入射，辐照度为，那么辐射出射度为，则，且对于反射辐亮度有：

由于值非常非常小，所以通常会非常大，这其实涉及到了我们系列1博文中反射率能否大于1的的问题。这里是个铺垫，我们放在系列3博文中再讲。

镜面的反射辐射方向示意图

5. 结语

这篇博文我们讲了三种典型的辐射表面，尤其重要的是朗伯表面，具有一些很好的特性。非朗伯面是我们遥感研究的重点，因为地物都是非朗伯的。

但是，我这里要抛出一个重要的问题：太阳辐射并非恒定不变的，每一天的每一时刻均不相同。那么：

对于某一个辐射表面来说，高入射辐照度和低入射辐照度自然产生的反射辐亮度并不相同，因此传感器入瞳处的反射辐亮度是随着入射辐射变化而变化的。

而我们希望观测到地物的本身属性，因此采用辐射度量来描述地物的本质属性并不合适！

于是，我们尝试采用反射度量去描述，这也就是下篇博文的内容。

如有错误，敬请及时指正，以免误导他人！