桶排序
从《基于比较的排序结构总结 》中我们知道：全依赖“比较”操作的排序算法时间复杂度的一个下界O(N*logN)。但确实存在更快的算法。这些算法并不是不用“比较”操作，也不是想办法将比较操作的次数减少到 logN。而是利用对待排数据的某些限定性假设 ，来避免绝大多数的“比较”操作。桶排序就是这样的原理。
桶排序的基本思想
假设有一组长度为N的待排关键字序列K[1....n]。首先将这个序列划分成M个的子区间(桶) 。然后基于某种映射函数 ，将待排序列的关键字k映射到第i个桶中(即桶数组B的下标 i) ，那么该关键字k就作为B[i]中的元素(每个桶B[i]都是一组大小为N/M的序列)。接着对每个桶B[i]中的所有元素进行比较排序(可以使用快排)。然后依次枚举输出B[0]....B[M]中的全部内容即是一个有序序列。
[桶—关键字]映射函数
bindex=f(key) 其中，bindex 为桶数组B的下标(即第bindex个桶), k为待排序列的关键字。桶排序之所以能够高效，其关键在于这个映射函数，它必须做到：如果关键字k1<k2，那么f(k1)<=f(k2)。也就是说B(i)中的最小数据都要大于B(i-1)中最大数据。很显然，映射函数的确定与数据本身的特点有很大的关系，我们下面举个例子：
假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。这些数据全部在1—100之间。因此我们定制10个桶，然后确定映射函数f(k)=k/10。则第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10=4)。依次将所有关键字全部堆入桶中，并在每个非空的桶中进行快速排序后得到如下图所示：
对上图只要顺序输出每个B[i]中的数据就可以得到有序序列了。
桶排序代价分析
桶排序利用函数的映射关系，减少了几乎所有的比较工作。实际上，桶排序的f(k)值的计算，其作用就相当于快排中划分，已经把大量数据分割成了基本有序的数据块(桶)。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。
对N个关键字进行桶排序的时间复杂度分为两个部分：
(1) 循环计算每个关键字的桶映射函数，这个时间复杂度是O(N)。
(2) 利用先进的比较排序算法对每个桶内的所有数据进行排序，其时间复杂度为 ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 为第i个桶的数据量。
很显然，第(2)部分是桶排序性能好坏的决定因素。尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法(因为基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)了)。因此，我们需要尽量做到下面两点：
(1) 映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中，这样每个桶就有[N/M]个数据量。
(2) 尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据，这样就完全避开了桶内数据的“比较”排序操作。当然，做到这一点很不容易，数据量巨大的情况下，f(k)函数会使得桶集合的数量巨大，空间浪费严重。这就是一个时间代价和空间代价的权衡问题了。
对于N个待排数据，M个桶，平均每个桶[N/M]个数据的桶排序平均时间复杂度为：
O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)
当N=M时，即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)。
总结： 桶排序的平均时间复杂度为线性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相对于同样的N，桶数量M越大，其效率越高，最好的时间复杂度达到O(N)。 当然桶排序的空间复杂度 为O(N+M)，如果输入数据非常庞大，而桶的数量也非常多，则空间代价无疑是昂贵的。此外，桶排序是稳定的。
其实我个人还有一个感受：在查找算法中，基于比较的查找算法最好的时间复杂度也是O(logN)。比如折半查找、平衡二叉树、红黑树等。但是Hash表却有O(C)线性级别的查找效率(不冲突情况下查找效率达到O(1))。大家好好体会一下：Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢?
桶排序在海量数据中的应用
一年的全国高考考生人数为500 万，分数使用标准分，最低100 ，最高900 ，没有小数，你把这500 万元素的数组排个序。
分析：对500W数据排序，如果基于比较的先进排序，平均比较次数为O(5000000*log5000000)≈1.112亿。但是我们发现，这些数据都有特殊的条件： 100=<score<=900。那么我们就可以考虑桶排序这样一个“投机取巧”的办法、让其在毫秒级别就完成500万排序。
方法：创建801(900-100)个桶。将每个考生的分数丢进f(score)=score-100的桶中。这个过程从头到尾遍历一遍数据只需要500W次。然后根据桶号大小依次将桶中数值输出，即可以得到一个有序的序列。而且可以很容易的得到100分有***人，501分有***人。
实际上，桶排序对数据的条件有特殊要求，如果上面的分数不是从100-900，而是从0-2亿，那么分配2亿个桶显然是不可能的。所以桶排序有其局限性，适合元素值集合并不大的情况。
用java写了个版本
1 import com.gxf.util.Node; 2 import com.gxf.util.Util; 3 4 /** 5 * 桶排序 6 * @author GXF 7 * 8 */ 9 public class BucketSort { 10 11 public static void main(String[] args) { 12 BucketSort bucketSort = new BucketSort(); 13 int nums[]={49,38,65,97,76,13,27,49}; 14 Util.showIntArray(nums); 15 bucketSort.bucketSort(nums); 16 Util.showIntArray(nums); 17 } 18 19 /** 20 * 桶排序 21 * @param nums 22 */ 23 public void bucketSort(int nums[]){ 24 //所有的桶 25 Node bucketTable[] = new Node[10]; 26 for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){ 27 bucketTable[i] = new Node(0); 28 }//for 29 30 //进行桶排序 31 for(int i = 0; i < nums.length; i++){ 32 Node nodeToInsert = new Node(nums[i]); 33 //计算桶序号，索引 34 int bucketIndex = nums[i] / 10; 35 //如果对应的桶为空，直接添加 36 if(bucketTable[bucketIndex].key == 0) 37 { 38 bucketTable[bucketIndex].next = nodeToInsert; 39 bucketTable[bucketIndex].key++; 40 }//if 41 else{ 42 Node head = bucketTable[bucketIndex]; 43 while(head.next != null && head.next.key < nums[i]) 44 head = head.next; 45 nodeToInsert.next = head.next; 46 head.next = nodeToInsert; 47 bucketTable[bucketIndex].key++; 48 }//else 49 }//for 50 51 //将桶中的数据放到原数组中 52 int arrayIndex = 0; 53 for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){ 54 if(bucketTable[i].key != 0){ 55 Node head = bucketTable[i].next; 56 while(head != null){ 57 nums[arrayIndex++] = head.key; 58 head = head.next; 59 }//while 60 }//if 61 }//for 62 } 63 64 65 66 }
针对
一个字符数组，里面的字符可能是a-z、A-Z、0-9.现在要求对数组进行排序，要求所有小写字符放在最前面，所有大写字符放在中间，所有数字放在最后。而且各部分内部分别有序
用桶排序实现了一下
1 import com.gxf.util.CharNode; 2 import com.gxf.util.Util; 3 4 /** 5 * 用桶排序对字符数组排序 6 * 里面的字符可能是a-z、A-Z、0-9.现在要求对数组进行排序，要求所有小写字符放在最前面，所有大写字符放在中间，所有数字放在最后。而且各部分内部分别有序 7 * @author GXF 8 * 9 */ 10 public class BucketSortCharArray { 11 12 public static void main(String[] args) { 13 String string = "asdfasdfa16a5f6d6546d5f46sa5d4f4F6AS5F4A6D4FFa4fa56d4fa"; 14 char array[] = string.toCharArray(); 15 BucketSortCharArray bucketSortCharArray = new BucketSortCharArray(); 16 Util.showCharArray(array); 17 bucketSortCharArray.bucketSortCharArray(array); 18 Util.showCharArray(array); 19 20 } 21 22 /** 23 * 使用桶排序对字符数组进行排序 24 * @param array 25 */ 26 public void bucketSortCharArray(char array[]){ 27 //这里只需要3个桶就okay了 28 CharNode bucketTable[] = new CharNode[3]; 29 //初始化桶 30 for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){ 31 bucketTable[i] = new CharNode(' '); 32 }//for 33 34 //开始桶排序 35 for(int i = 0; i < array.length; i++){ 36 CharNode nodeToInsert = new CharNode(array[i]); 37 int bucketIndex = getBucketIndext(array[i]); 38 39 //如果对应的桶为空 40 if(bucketTable[bucketIndex].next == null) 41 bucketTable[bucketIndex].next = nodeToInsert; 42 else{ 43 CharNode head = bucketTable[bucketIndex]; 44 while(head.next != null && head.next.val < array[i]) 45 head = head.next; 46 nodeToInsert.next = head.next; 47 head.next = nodeToInsert; 48 }//else 49 }//for 50 51 //遍历所有桶的数据，将数据放到原数组中 52 int arrayIndex = 0; 53 for(int i = 0; i < bucketTable.length; i++){ 54 CharNode head = bucketTable[i].next; 55 while(head != null){ 56 array[arrayIndex++] = head.val; 57 head = head.next; 58 }//while 59 } 60 } 61 62 /** 63 * a-z、A-Z、0-9 64 * @param element 65 * @return 66 */ 67 private int getBucketIndext(char element){ 68 if(element >= 'a' && element <= 'z') 69 return 0; 70 else if(element >= 'A' && element <= 'Z') 71 return 1; 72 return 2; 73 } 74 75 }
-------------------------------------------------------------我是分割线，下面是快速排序的实现---------------------------------------------------------------
1 import com.gxf.util.Util; 2 3 /** 4 * 对字符数组进行排序 5 * @author GXF 6 * 里面的字符可能是a-z、A-Z、0-9.现在要求对数组进行排序，要求所有小写字符放在最前面，所有大写字符放在中间，所有数字放在最后。而且各部分内部分别有序 7 * 8 */ 9 public class SortCharArray { 10 11 public static void main(String[] args) { 12 String string = "affasfasdf1656546sg6a5s4g6d4F4A65FD4A6F4AF65FAFfdf46f4s6f4a6fF6AD5F46E4F3"; 13 14 char array[] = string.toCharArray(); 15 Util.showCharArray(array); 16 17 SortCharArray sortCharArray = new SortCharArray(); 18 sortCharArray.sort(array); 19 20 Util.showCharArray(array); 21 22 } 23 24 private void sort(char array[]){ 25 if(array == null || array.length == 0) 26 return; 27 sort(array, 0, array.length - 1); 28 } 29 30 public void sort(char array[], int start, int end){ 31 if(start < end){ 32 int index = partion(array, start, end); 33 sort(array, start, index - 1); 34 sort(array, index + 1, end); 35 }//if 36 } 37 38 /** 39 * 一次划分 40 * @param array 41 * @param start 42 * @param end 43 * @return 44 */ 45 private int partion(char array[], int start, int end){ 46 char key = array[start]; 47 while(start < end){ 48 while(start < end && !compare(array, key, end)) 49 end--; 50 array[start] = array[end]; 51 while(start <end && compare(array, key, start)) 52 start++; 53 array[end] = array[start]; 54 }//while 55 array[start] = key; 56 return start; 57 } 58 59 /** 60 * 比较char[position] 和 key大小 61 * key > char[position] true else false 62 * @param array 63 * @param key 64 * @param position 65 * @return 66 */ 67 private boolean compare(char array[], char key, int position){ 68 int keyVal = getCharIntVal(key); 69 int positionVal = getCharIntVal(array[position]); 70 71 return keyVal - positionVal > 0 ? true : false; 72 } 73 74 /** 75 * 获取字符对应的整型值 76 * @param charElement 77 * @return 78 */ 79 private int getCharIntVal(char charElement){ 80 if(charElement >= '0' && charElement <= '9') 81 return charElement + 'Z'; 82 if(charElement >= 'a' && charElement <= 'z') 83 return charElement - 'z'; 84 return (int)charElement; 85 } 86 }
一个很形象的桶排序动态图
http://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BucketSort.html
参考：
