UVA1362 Exploring Pyramids

$\text{Link}$

题意

给定一棵树的 $\text{dfs}$ 序 $s$，求这棵树的形态数量，答案对 $10^9$ 取模。

有多组数据。

分析

我们知道，一棵树的 $\text{dfs}$ 序长这样：

根|子树 1|根|子树 2|根|子树 3|根|……|根|子树 n|根

因为可能会有相同的颜色，所以与根颜色相同的节点也可能为子树。

一棵树的形态个数显然由它子树的形态个数得到，于是我们设 $dp_{i,j}$ 为以区间 $[i,j]$ 为树的形态的个数。

显然，若 $i=j$，$dp_{i,j}\Leftarrow1$；若 $s_i\ne s_j$，$dp_{i,j}\Leftarrow0$。

接下来考虑 $s_i=s_j$ 的情况:

• 只有一颗子树。

此时树的形态为 根|子树 1|根，这时树的形态数量就是子树 $1$ 的形态数量个数，即 $dp_{i,j}\Leftarrow dp_{i+1,j-1}$。

• 有多棵子树。

此时树的形态为 根|子树 1|根|其他子树|根，我们发现其中 子树 1 和 根|其他子树|根 是两个子问题，于是我们枚举子树 $1$ 的根端点 $k-1$，满足 $s_i=s_k$，根据乘法原理及加法原理，$dp_{i,j}\Leftarrow\sum\limits_{i+2\le k\le j-2\land s_i=s_k}dp_{i+1,k-1}\times dp_{k,j}$。

答案为 $dp_{1,n}$。

像这样，一个大区间的答案从小区间得到，我们就想到了区间 dp。

然后就是板子了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
    long long x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=310;
const ll mod=1e9;
string s;
int n;
ll dp[N][N];
int main(){
	while(cin>>s){
		n=s.size();
		s=" "+s;//字符串下标从0开始，前面加一个空格使下标从1开始
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i=1;i<=n;i++)
			dp[i][i]=1;
		for(int l=2;l<=n;l++){
			for(int i=1,j;i+l-1<=n;i++){
				j=i+l-1;
				if(s[i]!=s[j])
					continue;
				dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
				for(int k=i+2;k<=j-2;k++)
					if(s[i]==s[k])
						dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i+1][k-1]*dp[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
		write(dp[1][n]);
		putchar('\n');
	}
    return 0;
}