P8002 Alice and Bob are playing a Normal Game

$\text{Link}$

题意

一开始有一个序列 $a_1,a_2,…,a_n$，记此时的 $ans$ 为 $\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}a_i$，接下来有一个公开的非负整数操作序列 $x_1,x_2,…,x_k$，即 Alice 和 Bob 都知道。

接下来 Alice 和 Bob 交替操作一共 $k$ 次，Alice 先，第 $i$ 次操作为使 $ans$ 变为 $p\pm ans(-x_i\le p\le x_i)$。

Alice 希望最后的 $ans$ 最大，而 Bob 希望最后的 $ans$ 最小，在两人都采取最优策略的情况下，求出最后的 $ans$。

分析

乍一看好像是 $\text{Alpha-Beta}$ 剪枝，然而 $1≤n,k≤2×10^5 ,0\le |a_i|,x_i\le 10^9$ 的范围是过不了的。

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于是我们考虑自己当一回 Alice & Bob 精神分裂：

$\text{Round 1 \ \ }k=1$

• Alice：天助我也，Bob 什么都做不了，我只要使答案最大就可以了，$ans\Longleftarrow x_1+\left|ans\right|$。

$\text{Round 2 \ \ }k=2$

• Alice：最后一次操作是 Bob 执行的，不论我这轮操作后 $ans$ 的大小如何，Bob 都可以通过 $ans\Longleftarrow -x_2-\left|ans\right|$ 使最后的结果尽可能小，既然这样，我只要使 $\left|ans\right|$ 尽可能小就可以了，如果 $\left|ans\right|\le x_1$，显然可以使它变为 $0$，否则最小只能变成 $\left|ans\right|-x_1$ 了。
• Bob：我现在掌握着最后一轮的结果，要使答案尽可能小， 只要 $ans\Longleftarrow -x_2-\left|ans\right|$，无论如何答案都是最小的。

$\text{Round 3 \ \ }k=3$

• Alice：最后一次操作是我执行的，那是我会使 $ans\Longleftarrow x_3+\left|ans\right|$，所以我只要使 $\left|ans\right|$ 尽可能大就好了，$ans\Longleftarrow x_1+\left|ans\right|$。
• Bob：局势对 Alice 十分有利，她最后得到的答案与 $\left|ans\right|$ 有关，所以我还是要使其尽可能小，如果 $\left|ans\right|\le x_2$，显然可以使它变为 $0$，否则最小只能变成 $\left|ans\right|-x_2$ 了。
• Alice：该做什么就显而易见了，$ans\Longleftarrow x_3+\left|ans\right|$。

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不难发现，Alice 和 Bob 所做的举动和 $k$ 的奇偶性有关：

• $k\bmod 2=1$：Alice 每次使 $\left|ans\right|$ 最大，Bob 每次使 $\left|ans\right|$ 最小。
• $k\bmod 2=0$：Alice 每次使 $\left|ans\right|$ 最小，Bob 每次使 $\left|ans\right|$ 最大。

于是按题意模拟即可，时间复杂度 $O(n+k)$，空间复杂度 $O(1)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=2e5+10;
int n,k;
ll ans,x;
ll minabs(ll a,ll b){//ans绝对值的最小值
	if(abs(a)<=b)
		return 0;
	return abs(a)-b;
}
int main(){
	n=read();k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=(read()*(i%2?1:-1));
	if(k%2)
		for(int i=1;i<=k;i++){
			x=read();
			if(i%2)
				ans=x+abs(ans);
			else
				ans=minabs(ans,x);
		}
	else
		for(int i=1;i<=k;i++){
			x=read();
			if(i%2)
				ans=minabs(ans,x);
			else
				ans=-x-abs(ans);
		}
	write(ans);
	return 0;
}