UVA1108 Mining Your Own Business

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一定要看到最后哦！

题意

在一个无向图上选择尽量少的点涂黑，使得删除任意一个点后，每个连通分量里都至少有一个黑点。

分析

看到删除任意一个点和连通分量，不难想到先求无向图的点双连通分量并缩点。缩点之后，无向图就变成了一颗树（题目保证图是连通的）。

接下来我们对于每个缩成点后的点双联通分量进行分类讨论，此时原图变成了新图，设一个缩点包含的点集为 $S$。

• $S$ 没有边与别的点相连。

显然，此时整个图是一个点双连通分量，我们可以把其中任意两个点（至少有两个点，因为题目保证 $n$ 是正整数）染成黑色，如果一个点被删了，显然连通分量中还是有黑点的。故此时最少的个数为 $2$，$S$ 的方案数为 $\frac{|S|\times (|S|-1)}{2}$。

• $S$ 只有一条边与别的点相连。

此时如果删掉这条边对面的点（易知对面的点为割点），$S$ 会从无向图中分裂出去，因此 $S$ 中至少有一个点被染黑；如果删掉 $S$ 中的黑点，则 $S$ 可与沿着该边到达的包含黑点的点集连通。

故最少的个数需要加上 $1$，$S$ 的方案数为 $|S|-1$，减去 $1$ 是因为 $S$ 中包含一个割点，把割点染黑是没有用处的，所以要减去。

• $S$ 有多条边与别的点相连。

此时无论删除哪一个点，$S$ 都可与沿着这些边到达的包含黑点的点集连通，所以 $S$ 中不需要染黑点，最少的个数只要加上 $0$，$S$ 的方案数为 $1$，相当于对答案没有任何影响。

综上所述，第一问的答案就是上面三种情况的最少个数之和，第二问的答案就是上面三种情况的方案数之积。

到了这里，你已经可以 AC 此题了，然而这还不够，你会发现这样好像过不了 AcWing 上的数据，原来 AcWing 上的点不保证全部都出现一遍，所以我们再开个数组 $v$ 表示每个点是否出现过，再计个数 $mx$ 表示出现过的最大点，对于每个点 $i(1\le i\le mx)$，如果出现过，则按照之前的方式处理，否则只会使第一问的答案增加 $1$。

代码

时间复杂度 $O(TN)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5+10;
int t,n,mx;
ll ans,sum;
int head[N],nxt[N<<1],ver[N<<1],tot;
int hc[N],nc[N<<1],vc[N<<1],tc;
int root,num,dfn[N],low[N];
int top,stak[N];
int cnt,new_id[N],c[N];
vector<int>v_dcc[N];
bool cut[N],v[N];
void add(int x,int y){
	ver[++tot]=y,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
void add_c(int x,int y){
	vc[++tc]=y,nc[tc]=hc[x],hc[x]=tc;
} 
void tarjan_v_dcc(int x){
	dfn[x]=low[x]=++num;
	stak[++top]=x;
	int flag=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int y=ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tarjan_v_dcc(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(dfn[x]<=low[y]){
				flag++;
				if(x!=root||flag>1)
					cut[x]=1;
				cnt++;
				int z;
				do{
					z=stak[top--];
					v_dcc[cnt].push_back(z);
				}while(z!=y);
				v_dcc[cnt].push_back(x);
			}
		}
		else
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	} 
}
void work_v_dcc(){
	for(int i=1;i<=mx;i++)
		if(v[i]&&!dfn[i])
			root=i,tarjan_v_dcc(i);
}
void sh_v_dcc(){
	num=cnt;
	for(int i=1;i<=mx;i++)
		if(cut[i])
			new_id[i]=++num;
	tc=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		for(int j=0;j<v_dcc[i].size();j++){
			int x=v_dcc[i][j];
			if(cut[x]){
				add_c(i,new_id[x]);
				add_c(new_id[x],i);
			}
			else
				c[x]=i;
		}
}
int main(){
	while(n=read()){
		printf("Case %d: ",++t);
		cnt=top=num=mx=0;//初始化 
		tot=1;
		memset(head,0,sizeof(head));
		memset(hc,0,sizeof(hc)); 
		memset(cut,0,sizeof(cut)); 
		memset(dfn,0,sizeof(dfn)); 
		memset(low,0,sizeof(low)); 
		memset(stak,0,sizeof(stak));
		memset(v,0,sizeof(v));
		sum=0;ans=1;
		for(int i=1,x,y;i<=n;i++){//读入 
			x=read();y=read();
			add(x,y);add(y,x);
			v[x]=v[y]=1;
            mx=max(mx,max(x,y));
		}
		for(int i=1;i<=mx;i++)
			v_dcc[i].clear();
		work_v_dcc();//求点双连通分量 
		sh_v_dcc();//缩点建图 
		for(int i=1;i<=cnt;i++){//分类求答案 
			if(!hc[i]){//第一种 
				sum+=2;
				ans*=(ll)v_dcc[i].size()*(v_dcc[i].size()-1)/2;
			}
			else if(!nc[hc[i]]){//第二种 
				sum++;
				ans*=(ll)(v_dcc[i].size()-1);
			}
		}
        for(int i=1;i<=mx;i++)
            if(!v[i])
                sum++;
		printf("%lld %lld\n",sum,ans);
	}
	return 0;
}

别急着走哦！

突然

一位面带微笑的老伯伯（非作者）在你面前的屏幕中出现。

「小伙子，我看你在 $@$$\color{Red}\text{chenjunxiu}$$\color{Blue}\surd$ 的题解前待很久了，是不是丢了什么东西？你丢的是这个金色的$\color{Gold}\text{经验}$，还是这个银色的$\color{Silver}\text{经验}$呢？」

“老伯伯，我没有丢东西呀，我刚才只是在抄，呸，借鉴 Ta 的题解而已。”

「哦，真是个诚实的孩子，老夫决定把这两个$\color{Gold}\text{经}$$\color{Silver}\text{验}$都送给你！」

“az，谢谢老伯伯，不过，那几个有色字和两个带色的链接……您是怎样说出来的呢？”

「嗯……好问题，不过你得先点赞加关注，我才能告诉你哦。」

“……”