CF1661D Progressions Covering

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题意

有一个 $n$ 个数的整数序列 $b_{1\sim n}$，每次可以选择一个长度为 $k$ 的连续子区间从左到右分别减去 $1,2,3,…,k-1,k$，求最少操作多少次可以使所有的 $b_i\le0$。

分析

我们先抛开如何求解，先想想怎样快速执行一次操作。

执行那么诡异的操作的数据结构肯定是没有的，不过如果我们求出 $b$ 数组的差分数组的相反数数组 $a_i=b_{i-1}-b_{i}$，那么一次操作 $[l,r]$ 就相当于把 $a_{l\sim r}$ 加 $1$，再把 $a_{r+1}$ 减去 $k$，且 $b_i=-\sum_{j=1}^ia_j$，转化成了我们常见的形式，我这里使用了一种直观而通用的数据结构——树状数组分块。

接下来尝试求解，第一种容易想到的思路是我们从 $1\sim n$ 分别考虑每个 $b_i$，在之前做过的操作的基础上执行 $b_i$ 次操作 $[i,i+k-1]$ 使 $b_i\le0$，并对后面的数产生影响，边界情况要特殊处理。

不过这个做法过不了最后一个样例，显然到 $b_i$ 时每次操作只减少 $1$ 是一个极大的浪费，为了尽可能节省次数，我们可以倒序执行操作，在前面的基础上，对于每个 $b_i$，执行 $\left\lceil\frac{b_i}{k}\right\rceil$ 次 $[i-k+1,i]$，边界情况仍要特殊处理。

倒序处理还有一个好处，就是当处理 $b_i$ 时，$b_{i+1\sim n}$ 已经处理完了，因此将 $a_{i+1}$ 减去 $k$ 这个过程可有可无，我们可以偷懒省略掉。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=3e5+10;
int n,k;
ll b[N],a[N],ad[N],sum[N],len,ans;
void add(int l,int r,ll v){//分块的区间修改 
	int kl=l/len,kr=r/len;
	if(kl==kr){
		for(int i=l;i<=r;i++){
			a[i]+=v;
			sum[kl]+=v;
		}
		return;
	}
	for(int i=l;i<=kl*len+len-1;i++){
		a[i]+=v;
		sum[kl]+=v;
	}
	for(int i=kl+1;i<kr;i++){
		ad[i]+=v;
		sum[i]+=len*v;
	}
	for(int i=kr*len;i<=r;i++){
		a[i]+=v;
		sum[kr]+=v;
	}
}
ll ask(int l,int r){//分块的区间求和 
	ll ans=0;
	int kl=l/len,kr=r/len;
	if(kl==kr){
		for(int i=l;i<=r;i++)
			ans+=a[i]+ad[kl];
		return ans;
	}
	for(int i=l;i<=kl*len+len-1;i++)
		ans+=a[i]+ad[kl];
	for(int i=kl+1;i<kr;i++)
		ans+=sum[i];
	for(int i=kr*len;i<=r;i++)
		ans+=a[i]+ad[kr];
	return ans;
}
int main(){
	n=read();k=read();
	len=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b[i]=read();
		add(i,i,0-b[i]+b[i-1]);
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		ll v=ask(1,i);//v就是b[i] 
		if(v>=0)//已经满足要求就不用计算 
			continue;
		v=-v;//把负数改为正数便于计算 
		if(i>=k){
			add(i-k+1,i,(v/k)+(v%k>0));//(v/k)+(v%k>0)相当于v/k向上取整
			ans+=(v/k)+(v%k>0);
		}
		else{//边界情况 
			add(1,k,(v/i)+(v%i>0)); 
			ans+=(v/i)+(v%i>0);
		}
	}
	write(ans);
	return 0;
}