P8317 [FOI2021] 幸运区间

$\text{Link}$

自己供的第一道题。

题意

给出 $n$ 个数列，编号为 $0\sim n-1$，每个数列有 $d$ 个正整数。

对于一段区间 $[l,r]$，从序列 $l$ 到 $r$ 中的数字中选出不超过 $k$ 个数字，称之为幸运数字。若存在一种情况使每个区间至少包含一个选出的幸运数字，则称区间 $[l,r]$ 为幸运区间，并且把这 $n$ 个数列构成的区间中长度最大的幸运区间成为超级幸运区间。

求这 $n$ 个数列的超级幸运区间。

分析

算法一

观察到 $d,k$ 超级小，所以每次加入一个序列时只有看看该序列是否有幸运数字，没有则暴搜增加幸运数字。

枚举区间的起点，然后一直向右加数字知道不能加为止，其中用一个数组来记录幸运数字，然后统计答案。

时间复杂度 $\text{O}(tn^2d^{k+1}k)$，期望得分 $\texttt{45-60}$ 分。

算法二

主要是枚举区间花了太多时间，于是我们考虑用分治减少枚举的区间。

设 $\text{solve}(l,r)$ 表示计算区间左右端点都在 $[l,r]$ 内的区间的答案，设 $mid=\left\lfloor\dfrac{l+r}{2}\right\rfloor$，则该问题可以分成以下几个子问题求解：

• $\text{solve}(l,mid-1)$。前提是 $l\le mid-1$。这时区间在 $mid$ 左侧。
• $\text{solve}(mid+1,r)$。前提是 $mid+1\le r$。这时区间在 $mid$ 右侧。
• 一定经过数列 $mid$ 的幸运区间。

前两个子问题直接递归求解，第三个则按照算法一的方法进行计算，只不过可以从两个方向增加数列。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5+10;
int t,n,d,k,a[N][5],mx,ml,mr,luck[5],sum;
void dfs(int l,int r,int L,int R){
	bool f=0;
	do{//向左扩展
		if(L-1<l)
			break;
		f=0;
		for(int i=1;i<=d;i++)
			for(int j=1;j<=sum;j++)
				f|=(a[L-1][i]==luck[j]);
		if(f)
			L--;
	}while(f);
	do{//向右扩展
		if(R+1>r)
			break;
		f=0;
		for(int i=1;i<=d;i++)
			for(int j=1;j<=sum;j++)
				f|=(a[R+1][i]==luck[j]);
		if(f)
			R++;
	}while(f);
	if(mx<R-L+1||(mx==R-L+1&&L<ml)){
		mx=R-L+1;
		ml=L;
		mr=R;
	}
	if(sum==k||(l==L&&r==R))
		return;
	if(l!=L){//向左增加幸运数字
		for(int i=1;i<=d;i++){
			luck[++sum]=a[L-1][i];
			dfs(l,r,L-1,R);
			sum--;
		}
	}
	if(r!=R){//向右增加幸运数字
		for(int i=1;i<=d;i++){
			luck[++sum]=a[R+1][i];
			dfs(l,r,L,R+1);
			sum--;
		}
	}
}
void solve(int l,int r){
	if(l==r){
		if(mx<1||(mx==1&&l<ml)){//更新答案
			mx=1;
			ml=mr=l;
		}
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(l<=mid-1)
		solve(l,mid-1);
	if(mid+1<=r)
		solve(mid+1,r);
	sum=1;
	for(int i=1;i<=d;i++){
		luck[sum]=a[mid][i];
		dfs(l,r,mid,mid);
	}
}
int main(){
	t=read();
	for(int ii=1;ii<=t;ii++){
		n=read();d=read();k=read();
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=1;j<=d;j++)
				a[i][j]=read();
		mx=0;
		solve(0,n-1);
		printf("Case #%d: %d %d\n",ii,ml,mr);
	}
	return 0;
}

时间复杂度 $\text{O}(tn\log n\ d^{k+1}k)$，期望得分 $\texttt{70}$ 分。不过开 $\texttt{O2}$ 后足够过了。

算法三

其实还可以增加一个小优化，原来在向左右扩展的过程中我们都是用 $dk$ 的时间来判断是否可以直接扩展，然而我们只要把用数组记录幸运数字改成用桶记录，就可以去掉 $k$。

你可能会问，$k$ 不是 $2$ 或 $3$ 吗，你去了 $k$ 和去常数有啥区别？不过搜索本来就十分玄学，去了 $k$ 以后就可以玄学地节省许多时间了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
void write(long long x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5+10;
int t,n,d,k,a[N][5],mx,ml,mr,luck[5],sum;
bool v[N];//用桶记录某个数字是否是幸运数字
void dfs(int l,int r,int L,int R){
	bool f=0;
	do{
		if(L-1<l)
			break;
		f=0;
		for(int i=1;i<=d;i++)
			f|=v[a[L-1][i]];
		if(f)
			L--;
	}while(f);
	do{
		if(R+1>r)
			break;
		f=0;
		for(int i=1;i<=d;i++)
			f|=v[a[R+1][i]];
		if(f)
			R++;
	}while(f);
	if(mx<R-L+1||(mx==R-L+1&&L<ml)){
		mx=R-L+1;
		ml=L;
		mr=R;
	}
	if(sum==k||(l==L&&r==R))
		return;
	if(l!=L){
		for(int i=1;i<=d;i++){
			sum++;
			v[a[L-1][i]]=1;
			dfs(l,r,L-1,R);
			v[a[L-1][i]]=0;
			sum--;
		}
	}
	if(r!=R){
		for(int i=1;i<=d;i++){
			sum++;
			v[a[R+1][i]]=1;
			dfs(l,r,L,R+1);
			v[a[R+1][i]]=0;
			sum--;
		}
	}
}
void solve(int l,int r){
	if(l==r){
		if(mx<1||(mx==1&&l<ml)){
			mx=1;
			ml=mr=l;
		}
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(l<=mid-1)
		solve(l,mid-1);
	if(mid+1<=r)
		solve(mid+1,r);
	sum=1;
	for(int i=1;i<=d;i++){
		v[a[mid][i]]=1;
		dfs(l,r,mid,mid);
		v[a[mid][i]]=0;
	}
}
int main(){
	t=read();
	for(int ii=1;ii<=t;ii++){
		n=read();d=read();k=read();
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=1;j<=d;j++)
				a[i][j]=read();
		mx=0;
		solve(0,n-1);
		printf("Case #%d: %d %d\n",ii,ml,mr);
	}
	return 0;
}

时间复杂度 $\text{O}(tn\log n\ d^{k+1})$，期望得分 $\texttt{100}$ 分。