NOIP2020 revision

补一下历年的题，但主要也是为了给别人讲解(

排水系统

$\text{Link}$

小模拟题。

题意

给出一张有向无环图和 $m$ 个源点，每个源点有 $1$ 单位的水，每次会平均分给几个点，求几个终点最后的结果是多少。

思路

显然流水的过程类似拓扑排序，直接写个分数结构体模拟即可。

但这样只有 $90$ 分，要开 __int128。

字符串匹配

$\text{Link}$

字符串科技题。

题意

将字符串 $S$ 改成 $(AB)^iC$ 的形式，且 $A$ 中出现奇数次的字符数量 $≤ C$ 中出现奇数次的字符数量。

思路

懒得重写了，口胡一个。

如果不考虑后面那个条件，显然我们可以枚举 $C$，判断剩下的字符串是否是 $(AB)^i$ 即可，也就是是否为一个周期串，利用扩展KMP可以求得其最小周期 $x$，显然 $AB$ 的长度为 $\frac{|S|-|C|}{x}$ 的因数乘上 $x$，可以证明直接枚举符合条件的所有 $AB$ 的复杂度是 $O(n\log n)$ 的，对于后面那个条件，我们记一下符合条件的 $A$ 的前缀和就好了。

与我之前写的代码完全不一致

移球游戏

$\text{Link}$

烧脑构造题。

题意

给定 $n+1$ 个栈，栈的高度限制为 $m$。初始时前 $n$ 个上每个有 $m$ 个球，最后一个为空。球分为 $n$ 种颜色，每种恰好 $m$ 个。一次操作可以把一个栈顶的元素弹出放到一个另一个栈顶，但是不可以使栈溢出或下溢。现要把同种颜色的球移动到同一个栈上，你需要构造一个在 $820000$ 次操作内的方案。

思路

一个直接的思路就是，依次使每种颜色的球达到目标。

对于含有目标颜色的球的柱子，我们肯定希望目标颜色的球都集中在上面，于是我们可以设计一个类似排序的操作方式，是的目标颜色的球被移到柱子上。

假设 $1$ 号柱子是我们可以乱用的，$n+1$ 号柱子是空的，我们要对 $x$ 号柱子进行排序，$x$ 号柱子上有 $t$ 个目标颜色的球，那么可以进行如下操作：

1. 将 $1$ 号柱子上的 $t$ 个球移到 $n+1$ 号柱子里。
2. 将 $x$ 号柱子上的球全部移走，若该球为目标颜色，移到 $1$ 号柱子，否则，移到 $n+1$ 号柱子。
3. 将 $n+1$ 号柱子上的 $m-t$ 个球移回 $x$ 号柱。
4. 将 $1$ 号柱子上的 $t$ 个球移回 $x$ 号柱。
5. 将 $n+1$ 号柱子上的所有球移回 $1$ 号柱。

可以注意到，在第 $2$ 步之后，$x$ 号柱子上目标颜色的球都移到了 $1$ 号柱上，非目标颜色的球都移到了 $n+1$ 号柱上，接下来的 $3、4$ 操作正好实现了排序，$5$ 操作则使其回到原本的状态，且 $1$ 号柱上的球的顺序与数量相较原来并没有改变。

把 $2\sim n$ 号柱都排完序后，我们不花费操作次数将 $1$ 号柱与其他柱掉包一下，再来一次排序，即可使所有目标颜色的球都被放到顶端，接下来只要把他们扔到第 $n+1$ 柱上并把剩下有缺的柱子补齐即可。

这样 $n$ 轮下来的总次数不超过 $\frac{(4m+2nm+2m)\times n}{2}+2mn\times n=mn^2+5m\le 1100000$，能得到 $80$ 分的好成绩，拼命优化也只能做到 $870000$ 次，要想AC可以用这篇题解的做法，通过构造全 $0$ 柱实现，比我的次数少了一半。

微信步数

$\text{Link}$

模拟+数论+结论+卡常

思路

显然，若走一轮之后走回起点且仍有剩余的起点，则无解。

有一个并不显然的结论就是，从第二轮开始，每一轮走出的点的情况都是一样的，不过感性还是能理解的。

既然这样，我们先模拟第一轮，求出第 $i$ 维剩下的点数 $a_i$，再模拟第二轮，就出每轮第 $i$ 维走出的点数 $b_i$，以及每轮的第 $1\sim j$ 步在第 $i$ 维走出的点数 $f_{j,i}$，显然从第二轮开始第 $tn+r(1\le r\le n)$ 步时第 $i$ 维剩余的点数为 $a_i-f_{r,i}-b_i\times t$，总点数为 $\prod_{i=1}^ka_i-f_{r,i}-b_i\times t$。

直接计算可得 $45$ 分，考虑优化这个计算，首先可以最外层枚举余数 $r$，这样的好处是可以直接计算出 $t_{max}=\min_{1\le i\le n 且 b_i\ne0}\frac{a_i-f_{r,i}}{b_i}$，答案就是 $\sum_{r=1}^n\sum_{i=0}^{t_{max}}\prod_{j=1}^ka_j-f_{r,j}-b_j\times i$。内层的求积显然是个关于 $i$ 的 $k$ 次多项式，暴力求出系数，然后用拉格朗日插值求出正整数幂和即可算出，时间复杂度为 $O(nk^2)$。

然而这题非常卡常，我虽然开了 $\text{O2}$ 也是在 $970ms$ 左右卡过的。