「笔记」对顶堆动态维护中位数

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妈的为啥我不会这个

问题

给定 $n$ 次操作，要求动态地维护一个可重集合，每次操作为下列三种形式之一：

• 给定参数 $x$，向集合中插入一个权值 $x$。
• 给定参数 $x$，删除集合中已存在的一个权值 $x$。
• 查询集合的中位数。

要求在 $O(n\log n)$ 时间复杂度内实现。

思路

考虑对当前可重集合维护两个 multiset，记它们分别为 $A$ 与 $B$，$A$ 中存小于等于中位数的权值，$B$ 中存大于等于中位数的权值，且钦定 $\operatorname{size}(A) \ge \operatorname{size}(B), \left|\operatorname{size}(A) - \operatorname{size}(B)\right|\le 1$。则在此限制下 $A$ 中最大的数即为集合的中位数。

考虑在上述限制下如何维护 $A, B$：

• 为了方便首先在 $A$ 中插入极小值，$B$ 中插入极大值。
• 对于插入操作，若给定参数 $x\le \operatorname{max}\{A\}$，则将 $x$ 插入 $A$，否则插入 $B$。
• 对于删除操作，先查询 $A$ 中是否存在 $x$，若存在则直接删除，否则在 $B$ 中查询并删除。
• 每次插入删除操作后，都进行调整操作：若 $\operatorname{size}(A) > \operatorname{size}(B) + 1$ 则不断取出 $A$ 中最大值插入 $B$；若 $\operatorname{size}(B) > \operatorname{size}(A)$ 则不断取出 $B$ 中最小值插入 $A$。
• 完成调整后，查询 $A$ 中最大的数即为整个集合的中位数。

发现在上述过程中，单次调整至多仅会调整一个元素，则仅有常数次对 set 的操作。则单次插入/删除时间复杂度 $O(\log n)$ 级别，查询 $O(1)$ 级别。

注意 multiset.erase 时，若传入的为值则会将所有值均删除；传入迭代器才仅会删除一个。

代码

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namespace Set {
  const int kInf = 1e9 + 2077;
  std::multiset<int> less, greater;
  void init() {
    less.clear(), greater.clear();
    less.insert(-kInf), greater.insert(kInf);
  }
  void adjust() {
    while (less.size() > greater.size() + 1) {
      std::multiset<int>::iterator it = (--less.end());
      greater.insert(*it);
      less.erase(it);
    }
    while (greater.size() > less.size()) {
      std::multiset<int>::iterator it = greater.begin();
      less.insert(*it);
      greater.erase(it);
    }
  }
  void add(int val_) {
    if (val_ <= *greater.begin()) less.insert(val_);
    else greater.insert(val_);
    adjust();
  }
  void del(int val_) {
    std::multiset<int>::iterator it = less.lower_bound(val_);
    if (it != less.end()) {
      less.erase(it);
    } else {
      it = greater.lower_bound(val_);
      greater.erase(it);
    }
    adjust();
  }
  int get_middle() {
    return *less.rbegin();
  }
}

例题

The 2023 ICPC Asia Jinan Regional Contest - K。

写在最后

妈的为啥我不会这个