「笔记」树同构

写在前面
树同构定义
- 有根树同构
- 无根树同构
树哈希
- 有根树
- 无根树
AHU 算法
例题
写在最后

写在前面

vp 的时候用到了于是来学一下。

好水。

抱歉了 AHU，但是树哈希它实在是太好写了。

树同构定义

有根树同构

对于两棵有根树 $T_1(V_1,E_1,r_1)$ 和 $T_2(V_2,E_2,r_2)$ ，如果存在一个双射 $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ ，使得

\forall u, v \in V_{1}, (u, v) \in E_{1} ⟺ (φ (u), φ (v)) \in E_{2}

$\forall u,v \in V_1,(u,v) \in E_1 \iff (\varphi(u),\varphi(v)) \in E_2$

且 $\varphi(r_1)=r_2$ 成立，那么称有根树 $T_1(V_1,E_1,r_1)$ 和 $T_2(V_2,E_2,r_2)$ 同构。

无根树同构

对于两棵无根树 $T_1(V_1,E_1)$ 和 $T_2(V_2,E_2)$ ，如果存在一个双射 $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ ，使得

\forall u, v \in V_{1}, (u, v) \in E_{1} ⟺ (φ (u), φ (v)) \in E_{2}

$\forall u,v \in V_1,(u,v) \in E_1 \iff (\varphi(u),\varphi(v)) \in E_2$

成立，那么称无根树 $T_1(V_1,E_1)$ 和 $T_2(V_2,E_2)$ 同构。

简单的说就是，如果能够通过把树 $T_1$ 的所有节点重新标号，使得树 $T_1$ 和树 $T_2$ 完全相同，那么称这两棵树同构。

树哈希

有根树

一种常用的好写的构造方法。

记 $h_u$ 表示以 $u$ 为根的子树的哈希值，记 $f$ 为对多重集的哈希函数。

则可定义：

h_{u} = f ({h_{v} | v \in son (u)})

$h_u = f(\{ h_v | v\in \operatorname{son}(u) \})$

实现时常采用如下的哈希函数：

f (S) = (c + \sum_{x \in S} g (x)) mod m

$f(S) = \left( c + \sum_{x\in S} g(x) \right)\bmod m$

其中：

$c$ 为一常数，一般取 1 即可。
$m$ 为模数。
$g$ 为整数到整数的映射，代码中使用了 xor shift 算法。

无根树

发现上述哈希值的定义方式天然支持换根操作。

于是可以考虑换根 DP 求得以所有节点为根的树的哈希值，再进行多重集哈希即得无根树的哈希值。

不过对于两棵无根树，更进一步地可观察得到一些性质：

它们的重心数量一定相等。
以重心为根的有根树一一对应。

于是可以考虑先求重心，构造出以重心为根的有根树哈希后比较哈希值，正确性有所上升。

AHU 算法

咕咕~

例题

UOJ #763. 树哈希

给定一棵以点 $1$ 为根的树，你需要输出这棵树中最多能选出多少个互不同构的子树。
两棵有根树 $T_1$ 、 $T_2$ 同构当且仅当他们的大小相等，且存在一个顶点排列 $\sigma$ 使得在 $T_1$ 中 $i$ 是 $j$ 的祖先当且仅当在 $T_2$ 中 $\sigma(i)$ 是 $\sigma(j)$ 的祖先。
$1\le n\le 10^6$ 。
5S，512MB。

有根树同构板题。

偷懒写了自然溢出。

为了不被叉掉，代码中使用了基于 C++11 特性的 std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count() 生成随机数。

复制复制 //树哈希
/*
By:Luckyblock
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
const int kN = 1e6 + 10;
const int kM = kN << 1;
//=============================================================
int n, edgenum, head[kN], v[kM], ne[kM];
ULL f[kN], mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
std::set<ULL> subtree;
//=============================================================
void Add(int u_, int v_) {
  v[++ edgenum] = v_;
  ne[edgenum] = head[u_];
  head[u_] = edgenum;
}
ULL trans(ULL x_) {
  x_ ^= mask;
  x_ ^= x_ << 13ll;
  x_  ^= x_ >> 7ll;
  x_ ^= mask;
  return x_;
}
void Dfs(int u_, int fa_) {
  f[u_] = 1;
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    int v_ = v[i];
    if (v_ == fa_) continue;
    Dfs(v_, u_);
    f[u_] += trans(f[v_]);
  }
  subtree.insert(f[u_]);
}
//=============================================================
int main() {
  //freopen("1.txt", "r", stdin);
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0);
  std::cin >> n;
  for (int i = 1; i < n; ++ i) {
    int u_, v_; std::cin >> u_ >> v_;
    Add(u_, v_), Add(v_, u_);
  }
  Dfs(1, 0);
  std::cout << subtree.size();
  return 0;
}

SP7826 - TREEISO - Tree Isomorphism

$T$ 组数据，每组数据给定两棵大小为 $n$ 的无根树，判断它们是否同构。
$1\le T\le 400$ ， $1\le \sum n\le 10^5$ 。
261ms，1.46GB。

SPOJ 一如既往的诡异时空限制。

无根树同构板题。

考虑换根 DP 求得以所有节点为根的树的哈希值，再进行多重集哈希即得无根树的哈希值。

 //树哈希
/*
By:Luckyblock
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
const int kN = 2e5 + 10;
const int kM = kN << 1;
//=============================================================
int n, edgenum, head[kN], v[kM], ne[kM];
ULL f[kN], g[kN], mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
//=============================================================
void Add(int u_, int v_) {
  v[++ edgenum] = v_;
  ne[edgenum] = head[u_];
  head[u_] = edgenum;
}
void Init() {
  std::cin >> n;
  edgenum = 0;
  for (int i = 1; i <= 2 * n; ++ i) {
    head[i] = f[i] = g[i] = 0;
  }
}
ULL trans(ULL x_) {
  x_ ^= mask;
  x_ ^= x_ << 13ll;
  x_ ^= x_ >> 7ll;
  x_ ^= mask;
  return x_;
}
void Dfs1(int u_, int fa_) {
  f[u_] = 1;
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    int v_ = v[i];
    if (v_ == fa_) continue;
    Dfs1(v_, u_);
    f[u_] += trans(f[v_]);
  }
}
void Dfs2(int u_, int fa_) {
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    int v_ = v[i];
    if (v_ == fa_) continue;
    g[v_] = f[v_] + trans(g[u_] - trans(f[v_]));
    // LL newf = f_ + f[u_] - trans(f[v_]);
    Dfs2(v_, u_);
  }
}
//=============================================================
int main() {
  //freopen("1.txt", "r", stdin);
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0);
  int T; std::cin >> T;
  while (T --) {
    Init();
    for (int i = 1; i < n; ++ i) {
      int u_, v_; std::cin >> u_ >> v_;
      Add(u_, v_), Add(v_, u_);
    }
    for (int i = 1; i < n; ++ i) {
      int u_, v_; std::cin >> u_ >> v_;
      Add(u_ + n, v_ + n), Add(v_ + n, u_ + n);
    }
    Dfs1(1, 0), Dfs1(n + 1, 0);
    g[1] = f[1], g[n + 1] = f[n + 1];
    Dfs2(1, 0), Dfs2(n + 1, 0);
 
    ULL sum[2] = {0};
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
      sum[0] += trans(g[i]);
      sum[1] += trans(g[i + n]);
    }
    std::cout << (sum[0] == sum[1] ? "YES\n" : "NO\n");
  }
  return 0;
}

P5043 【模板】树同构（[BJOI2015]树的同构）

同样无根树同构板题。

 //树哈希
/*
By:Luckyblock
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
const int kN = 2e5 + 10;
const int kM = kN << 1;
//=============================================================
int m, n, edgenum, head[kN], v[kM], ne[kM];
ULL f[kN], g[kN], mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
std::map<ULL, int> tree;
//=============================================================
void Add(int u_, int v_) {
  v[++ edgenum] = v_;
  ne[edgenum] = head[u_];
  head[u_] = edgenum;
}
void Init() {
  std::cin >> n;
  edgenum = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    head[i] = f[i] = g[i] = 0;
  }
}
ULL trans(ULL x_) {
  x_ ^= mask;
  x_ ^= x_ << 13ll;
  x_ ^= x_ >> 7ll;
  x_ ^= mask;
  return x_;
}
void Dfs1(int u_, int fa_) {
  f[u_] = 1;
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    int v_ = v[i];
    if (v_ == fa_) continue;
    Dfs1(v_, u_);
    f[u_] += trans(f[v_]);
  }
}
void Dfs2(int u_, int fa_) {
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    int v_ = v[i];
    if (v_ == fa_) continue;
    g[v_] = f[v_] + trans(g[u_] - trans(f[v_]));
    Dfs2(v_, u_);
  }
}
//=============================================================
int main() {
  //freopen("1.txt", "r", stdin);
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0);
  std::cin >> m;
  for (int id = 1; id <= m; ++ id) {
    Init();
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
      int fa; std::cin >> fa;
      if (fa == 0) continue;
      Add(fa, i), Add(i, fa);
    }
    Dfs1(1, 0), g[1] = f[1], Dfs2(1, 0);
    
    ULL sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) sum += trans(g[i]);
    if (!tree.count(sum)) tree[sum] = id;
    std::cout << tree[sum] << "\n";
  }
  return 0;
}

写在最后

参考：

posted @ 2024-04-17 10:49 Luckyblock 阅读(305) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

相关博文：

· 「笔记」dsu on tree

· The 2022 ICPC Asia Hangzhou Regional Programming Contest

· 树哈希与诶胡

· 树哈希小记

· 树哈希学习笔记

阅读排行：
· 地球OL攻略 —— 某应届生求职总结
· 周边上新：园子的第一款马克杯温暖上架
· Open-Sora 2.0 重磅开源！
· 提示词工程——AI应用必不可少的技术
· .NET周刊【3月第1期 2025-03-02】

公告

MathJax 渲染格式改为 SVG，缩放倍率调至 125%，可获得更好的阅读效果。

博客首页仅显示部分高质量博文，大部分博文都位于随笔分类中。请善用下方的搜索功能。

大部分博文密码为某大质数。

昵称： Luckyblock
园龄： 5年6个月
粉丝： 244
关注： 150

+加关注

Luckyblock

身与华落，心将香飞

「笔记」树同构

写在前面

树同构定义

有根树同构

无根树同构

树哈希

有根树

无根树

AHU 算法

例题

UOJ #763. 树哈希

SP7826 - TREEISO - Tree Isomorphism

P5043 【模板】树同构（[BJOI2015]树的同构）

写在最后

公告

搜索

积分与排名

随笔分类 (531)

相册 (32)

友链

阅读排行榜

最新评论

	//树哈希
	/*
	By:Luckyblock
	*/
	#include <bits/stdc++.h>
	#define LL long long
	#define ULL unsigned long long
	const int kN = 1e6 + 10;
	const int kM = kN << 1;
	//=============================================================
	int n, edgenum, head[kN], v[kM], ne[kM];
	ULL f[kN], mask = std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
	std::set<ULL> subtree;
	//=============================================================
	void Add(int u_, int v_) {
	v[++ edgenum] = v_;
	ne[edgenum] = head[u_];
	head[u_] = edgenum;
	}
	ULL trans(ULL x_) {
	x_ ^= mask;
	x_ ^= x_ << 13ll;
	x_ ^= x_ >> 7ll;
	x_ ^= mask;
	return x_;
	}
	void Dfs(int u_, int fa_) {
	f[u_] = 1;
	for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
	int v_ = v[i];
	if (v_ == fa_) continue;
	Dfs(v_, u_);
	f[u_] += trans(f[v_]);
	}
	subtree.insert(f[u_]);
	}
	//=============================================================
	int main() {
	//freopen("1.txt", "r", stdin);
	std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0);
	std::cin >> n;
	for (int i = 1; i < n; ++ i) {
	int u_, v_; std::cin >> u_ >> v_;
	Add(u_, v_), Add(v_, u_);
	}
	Dfs(1, 0);
	std::cout << subtree.size();
	return 0;
	}