CF1917F Construct Tree
Link：http://codeforces.com/problemset/problem/1917/F
知识点：背包，构造
简述
\(T\) 组数据，每组数据给定参数 \(d\) 与一长度为 \(n\) 的数列 \(l\)，仅需判断是否可以构造出一棵树，满足：
- 树的所有边长与数列元素一一对应。
- 树的直径为 \(d\)。
\(1\le T\le 250\)，\(2\le n\le 2000\)，\(1\le l_i\le d\le 2000\)，\(\sum n\le 2000\)。
2S，256MB。
分析
先和 dztle 讨论出一堆结论：
首先若存在 \(l_{i} + l_{j}>d\) 显然无解。
否则若仅存在唯一的 \(l_i>\frac{d}{2}\)，则这条边一定在直径上，则此时最可行的构造是用其他边构造出一条长为 \(d-l_i\) 的链与 \(l_i\) 相连构成直径，然后将其他边直接接到 \(l_i\) 靠近直径中点的端点。直接背包判断即可。
否则考虑先构造出长为 \(d\) 的直径，考虑其他边应该接到哪里：
- 发现所有边直接连到距离直径的中点最近的点 \(m\)上是最可行的。
- 若 \(m\) 与较近的直径端点距离为 \(d'\)（显然有 \(d'\le \frac{d}{2}\)）。则若所有边的长度不大于 \(d'\) 说明构造合法。
- 为什么合法？考虑一条边 \(l_i(l_i\le d')\) 位于该构造中的什么位置：
- 边在 \(m\) 与较近的直径端点的链上，则显然有 \(l_i\le d'\le \frac{d}{2}\)。
- 边在 \(m\) 与较远的直径端点的链上，则有 \(l_i<d'<\frac{d}{2}, d'+l_i\le d\)，则直径合法。
- 边不在直径上且与 \(m\) 相连，则有 \(d'+l_i\le d, d - d' + l_i\le d - d' + d' = d\)，则直径合法。
- 由上述讨论可知当 \(\forall 1\le i\le n, l_i\le d'\) 时在这棵树上所有边都有自己要做的事，所以构造合法。否则必然出现与直径为 \(d\) 冲突的情况。
于是同样考虑背包，首先想到设 \(f_i\) 表示构造出长度为 \(i\) 的链时，最靠近 \(\frac{d}{2}\) 的位置与较近的端点的距离。初始化 \(f_0=0, \forall 1\le i\le d, f_i = -\infin\)，转移时枚举当前要加入的边 \(l_i\)，再枚举加入边后的链长 \(j\)，则有转移：
然后发现这个状态有点问题，有可能长度为 \(l-a_i\) 的链存在多种构造使得最靠近 \(\frac{d}{2}\) 的位置与较近的端点的距离不同，为了考虑周全应当把这些情况都记录下来。于是考虑修改状态将 \(f\) 设为 bitset，表示构造出长度为 \(i\) 的链时，最靠近 \(\frac{d}{2}\) 的位置与较近的端点的距离为某个值是否可行。初始化 \(f_{0, 0} = \text{true}\) 同样修改上述两种转移的形式：
- \(f_j\leftarrow f_{j-l_i} + l_i\)，等价于 \(f_j\) 按位或上 \(f_{j-l_i}\) 左移 \(l_i\) 位的前 \(\frac{d}{2}\) 位。
- \(f_j\leftarrow f_{j - l_i}\)，等价于 \(f_j\) 直接或上 \(f_{j-l_i}\)。
最后检查 \(f_d\) 最右侧的 1 的位置是否大于最长的边即可。
总时间复杂度大概是 \(O\left( \frac{n^2d}{w} \right)\)，\(w = 64\)，反正能过吸吸
代码
//知识点：背包
/*
By:Luckyblock
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
const int kN = 2010;
//=============================================================
int n, d, ans, a[kN];
bool g[kN];
std::bitset <kN> f[kN], h;
//=============================================================
bool DP1() {
g[0] = 1;
for (int i = 1; i <= d; ++ i) g[i] = 0;
for (int i = 1; i < n; ++ i) {
for (int j = d - a[n]; j >= a[i]; -- j) {
g[j] |= g[j - a[i]];
}
}
return g[d - a[n]];
}
bool DP2() {
h.reset();
for (int i = 0; i <= d / 2; ++ i) h.set(i);
for (int i = 0; i <= d; ++ i) f[i].reset();
f[0].set(0);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (int j = d; j >= a[i]; -- j) {
f[j] |= f[j - a[i]] | ((f[j - a[i]] << a[i]) & h);
}
}
return f[d]._Find_next(a[n] - 1) != f[d].size();
}
//=============================================================
int main() {
// freopen("1.txt", "r", stdin);
std::ios::sync_with_stdio(false);
int T; std::cin >> T;
while (T --) {
std::cin >> n >> d;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) std::cin >> a[i];
std::sort(a + 1, a + n + 1);
if (a[n] + a[n - 1] > d) {
ans = 0;
} else if (a[n] > d / 2) {
ans = DP1();
} else {
ans = DP2();
}
std::cout << (ans ? "Yes\n" : "No\n");
}
return 0;
}
