P7114 [NOIP2020] 字符串匹配

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知识点：枚举，结论，Z 函数，哈希

唉，三年了，三年！！！

简述

$T$ 组数据，每组数据给定仅由小写字母组成的字符串 $s$ ，求 $t = {(AB)}^iC$ 的方案数，其中 $F(A) \le F(C)$ ，其中 $F(t)$ 表示字符串 $t$ 中出现奇数次的字符的数量。两种方案不同当且仅当拆分出的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中有至少一个字符串不同。
对于所有测试点，保证 $1 \le T \le 5$ ， $1 \le |s| \le 2^{20}$ 。
1S，512MB。

分析

$O(|s|\ln |s|\log 26)$ 考场垃圾做法

看到古老的代码了回忆一下。

首先预处理所有前缀和后缀中出现次数为奇数次的字符的数量，然后考虑枚举 $AB$ 的长度，再枚举 $(AB)^i$ 的长度，可以通过字符串哈希判断枚举的 $(AB)^i$ 是否合法。确定了 $(AB)^i$ 后 $C$ 唯一确定，仅需求所有 $A$ 的可行值中满足 $F(A)\le F(C)$ 的数量，可通过树状数组维护 $F(A)$ 求得。

枚举 $(AB)^i$ 的时间复杂度是调和级数，总时间复杂度为 $O(|s|\ln |s|\log 26)$ 。

考场上写丑了清空居然全都是暴力 memset 并且树状数组值域开到了 $N$ 、、、其实把 memeset 换成枚举并且把树状数组值域改小可以概率卡过去。考场上写了什么几把啊我草幸亏没被卡多测清空好歹水到 84 分不然省一没了呜呜

$O(n\log 26)$ 真算法

同样考虑枚举 $AB$ ，但是接下来不暴力枚举 $(AB)^i$ 而是进一步深挖性质。

首先考虑以 $AB$ 为循环节的最长前缀可以到什么位置，即求合法的 $(AB)^i$ 的 $i$ 的最大值。手玩了下发现可以通过求 $s[|AB| + 1: n]$ 与 $s$ 的最长公共前缀，也即 Z 函数求得，满足：

max {i} = min {⌊ \frac{z (| A B | + 1)}{| A B |} ⌋ + 1, \frac{| s | - 1}{| A B |}}

$\max\{i\} = \min\left\{ \left\lfloor \dfrac{z(|AB| + 1)}{|AB|} \right\rfloor + 1, \dfrac{|s| - 1}{|AB|} \right\}$

注意 $A, B, C$ 都要求非空，所以上式中有一个取 $\min$ 防止出现 $C$ 非空的情况。

然后考虑为什么要强调 $F$ 代表出现次数为奇数的字符数量？手玩下发现 $(AB)^{2k}$ 中所有字符出现次数均为偶数，也即当 $i$ 的变化量为偶数时 $F(C)$ 是不变的，仅需讨论 $i$ 为奇数与偶数的情况即可确定 $F(C)$ ，再求有多少 $A$ 合法即可，不需要再枚举 $(AB)^{i}$ 了。

$i$ 为奇数的个数为 $\left\lfloor\frac{\max\{i\} + 1}{2}\right\rfloor$ ，此时有 $F(C) = F(s[|AB| + 1: |s|])$ ； $i$ 为偶数的个数为 $\left\lfloor\frac{\max\{i\}}{2}\right\rfloor$ ，此时有 $F(C) = F(s[2\times |AB| + 1: |s|])$ 。同样可通过树状数组维护 $F(A)$ 求合法 $A$ 的数量。

比考场做法少了枚举 $(AB)^i$ 的调和级数，总时间复杂度为 $O(|s|\log 26)$ 级别。

已经有了不依赖于字符集大小纯线性的做法？牛逼，但是懒了。

代码

$O(|s|\log 26)$ 真算法：

复制复制 //
/*
By:Luckyblock
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
const int kN = 1e6 + 5e5 + 10;
const int kM = 30;
//=============================================================
int n, z[kN];
int cnt_pre[30], cnt_suf[30], sum_pre[kN], sum_suf[kN];
char s[kN];
LL ans;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0'); 
  return f * w;
}
namespace Bit {
  #define lowbit(x) ((x)&-(x))
  int time, t[kM], tim[kM];
  void Init() {
    ++ time;
  }
  void Insert(int pos_) {
    ++ pos_;
    for (int i = pos_; i <= 27; i += lowbit(i)) {
      if (tim[i] != time) t[i] = 0, tim[i] = time;
      t[i] ++;
    }
  }
  int Sum(int pos_) {
    ++ pos_;
    int ret = 0;
    for (int i = pos_; i; i -= lowbit(i)) {
      if (tim[i] != time) t[i] = 0, tim[i] = time; 
      ret += t[i];
    }
    return ret;
  }
  #undef lowbit
}
void z_function() {
  z[1] = n;
  for (int i = 2, l = 1, r = 1; i <= n; ++ i) {
    if (i <= r && z[i - l + 1] < r - i + 1) {
      z[i] = z[i - l + 1];
    } else {
      z[i] = std::max(0, r - i + 1);
      while (i + z[i] <= n && s[z[i] + 1] == s[i + z[i]]) ++ z[i];
    }
    if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
  }
}
void Init() {
  ans = 0;
  scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1);
  for (int i = 0; i <= 27; ++ i) cnt_pre[i] = cnt_suf[i] = 0;
  for (int i = 1; i <= n + 1; ++ i) sum_pre[i] = sum_suf[i] = 0;
 
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    ++ cnt_pre[s[i] - 'a'];
    if (cnt_pre[s[i] - 'a'] % 2 == 1) sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] + 1;
    else sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] - 1;
  }
  for (int i = n; i >= 1; -- i) {
    ++ cnt_suf[s[i] - 'a'];
    if (cnt_suf[s[i] - 'a'] % 2 == 1) sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] + 1;
    else sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] - 1;
  }
 
  z_function();
  Bit::Init();
}
void Solve() {
  for (int ab = 2; ab <= n; ++ ab) {
    int cnt = std::min(z[ab + 1] / ab + 1, (n - 1) / ab);
    Bit::Insert(sum_pre[ab - 1]);
    ans += 1ll * (cnt + 1) / 2ll * Bit::Sum(sum_suf[ab + 1]);
    ans += 1ll * cnt / 2ll * Bit::Sum(sum_suf[1]);
  }
}
//=============================================================
int main() {
  // freopen("1.txt", "r", stdin);
  int T = read();
  while (T --) {
    Init();
    Solve();
    printf("%lld\n", ans);
  }
  return 0;
}
/*
1
aaaaaa
 
1
aaaa
*/

$O(|s|\ln |s|\log 26)$ 考场垃圾做法：

以下为考场代码。

 //
/*
By:Luckyblock
 
fuck
 
ccf
 
//freopen
 
我知道会有人看见的。  
 
这里是一个已退役选手，在结束前 10 分钟的随想。  
 
近 2 年的喜怒哀乐，在脑中缓缓流淌。  
 
我曾妄想：挥斥方遒，信步走出考场—— 
 
终不如愿， 
 
别了， 
 
我愿为你鼓掌。 
 
Goodbye,World!
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
const int kN = 1e6 + 4e5 + 10;
const int mod1 = 998244353;
const int mod2 = 1e9 + 7;
const int kBase = 23333;
//=============================================================
int n, cnt_pre[30], cnt_suf[30], sum_pre[kN], sum_suf[kN];
int pw1[kN], pw2[kN], has1[kN], has2[kN];
LL ans;
char s[kN];
//=============================================================
int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) {
    if (ch == '-') f = -1;
  }
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) {
    w = 10 * w + ch - '0';
  }
  return f * w;
}
namespace Bit {
  #define low(x) (x&-x)
  int t[kN];
  void Init() {
    memset(t, 0, sizeof (t));
  }
  void Insert(int pos_) {
    for (int i = pos_; i <= n; i += low(i)) {
      t[i] ++;
    }
  }
  int Sum(int pos_) {
    int ret = 0;
    for (int i = pos_; i; i -= low(i)) {
      ret += t[i];
    }
    return ret;
  }
  #undef low
}
void Init() {
  ans = 0;
  Bit::Init();
  memset(cnt_pre, 0, sizeof (cnt_pre));
  memset(cnt_suf, 0, sizeof (cnt_suf));
}
bool Judge(int r1_, int l2_, int r2_) {
  int h1 = (1ll * (1ll * has1[r2_] - 1ll * has1[l2_ - 1] * pw1[r2_ - l2_ + 1] % mod1) % mod1 + mod1) % mod1;
  int h2 = (1ll * (1ll * has2[r2_] - 1ll * has2[l2_ - 1] * pw2[r2_ - l2_ + 1] % mod2) % mod2 + mod2) % mod2;
  return ((h1 == has1[r1_]) && (h2 == has2[r1_]));
}
void Prepare() {
  Init();
  scanf("%s", s + 1);
  n = strlen(s + 1);
  
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    int now = s[i] - 'a';
    cnt_pre[now] ++;
    if (cnt_pre[now] % 2 == 1) {
      sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] + 1;
    } else {
      sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] - 1;
    }
    
    has1[i] = 1ll * (1ll * has1[i - 1] * kBase % mod1 + now) % mod1;
    has2[i] = 1ll * (1ll * has2[i - 1] * kBase % mod2 + now) % mod2;
  }
  for (int i = n; i; -- i) {
    int now = s[i] - 'a';
    cnt_suf[now] ++;
    if (cnt_suf[now] % 2 == 1) {
      sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] + 1;
    } else {
      sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] - 1;
    }
  }
}
//=============================================================
int main() {
  int T = read();
  pw1[0] = pw2[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= kN - 10; ++ i) {
    pw1[i] = 1ll * pw1[i - 1] * kBase % mod1;
    pw2[i] = 1ll * pw2[i - 1] * kBase % mod2;
  }
  while (T --) {
    Prepare();
    for (int ab = 2; ab < n; ++ ab) {
      Bit::Insert(sum_pre[ab - 1] + 1);
      ans += 1ll * Bit::Sum(sum_suf[ab + 1] + 1);
      for (int c = 2 * ab; c + 1 <= n; c += ab) {
        if (! Judge(ab, c - ab + 1, c)) break;
        ans += 1ll * Bit::Sum(sum_suf[c + 1] + 1);
      }
    }
    printf("%lld\n", ans);
  }
  return 0;
}

posted @ 2024-01-21 09:50 Luckyblock 阅读(33) 评论(0) 编辑收藏举报

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	//
	/*
	By:Luckyblock
	*/
	#include <bits/stdc++.h>
	#define LL long long
	const int kN = 1e6 + 5e5 + 10;
	const int kM = 30;
	//=============================================================
	int n, z[kN];
	int cnt_pre[30], cnt_suf[30], sum_pre[kN], sum_suf[kN];
	char s[kN];
	LL ans;
	//=============================================================
	inline int read() {
	int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
	return f * w;
	}
	namespace Bit {
	#define lowbit(x) ((x)&-(x))
	int time, t[kM], tim[kM];
	void Init() {
	++ time;
	}
	void Insert(int pos_) {
	++ pos_;
	for (int i = pos_; i <= 27; i += lowbit(i)) {
	if (tim[i] != time) t[i] = 0, tim[i] = time;
	t[i] ++;
	}
	}
	int Sum(int pos_) {
	++ pos_;
	int ret = 0;
	for (int i = pos_; i; i -= lowbit(i)) {
	if (tim[i] != time) t[i] = 0, tim[i] = time;
	ret += t[i];
	}
	return ret;
	}
	#undef lowbit
	}
	void z_function() {
	z[1] = n;
	for (int i = 2, l = 1, r = 1; i <= n; ++ i) {
	if (i <= r && z[i - l + 1] < r - i + 1) {
	z[i] = z[i - l + 1];
	} else {
	z[i] = std::max(0, r - i + 1);
	while (i + z[i] <= n && s[z[i] + 1] == s[i + z[i]]) ++ z[i];
	}
	if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
	}
	}
	void Init() {
	ans = 0;
	scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1);
	for (int i = 0; i <= 27; ++ i) cnt_pre[i] = cnt_suf[i] = 0;
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++ i) sum_pre[i] = sum_suf[i] = 0;

	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	++ cnt_pre[s[i] - 'a'];
	if (cnt_pre[s[i] - 'a'] % 2 == 1) sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] + 1;
	else sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] - 1;
	}
	for (int i = n; i >= 1; -- i) {
	++ cnt_suf[s[i] - 'a'];
	if (cnt_suf[s[i] - 'a'] % 2 == 1) sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] + 1;
	else sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] - 1;
	}

	z_function();
	Bit::Init();
	}
	void Solve() {
	for (int ab = 2; ab <= n; ++ ab) {
	int cnt = std::min(z[ab + 1] / ab + 1, (n - 1) / ab);
	Bit::Insert(sum_pre[ab - 1]);
	ans += 1ll * (cnt + 1) / 2ll * Bit::Sum(sum_suf[ab + 1]);
	ans += 1ll * cnt / 2ll * Bit::Sum(sum_suf[1]);
	}
	}
	//=============================================================
	int main() {
	// freopen("1.txt", "r", stdin);
	int T = read();
	while (T --) {
	Init();
	Solve();
	printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
	}
	/*
	1
	aaaaaa

	1
	aaaa
	*/

	//
	/*
	By:Luckyblock

	fuck

	ccf

	//freopen

	我知道会有人看见的。

	这里是一个已退役选手，在结束前 10 分钟的随想。

	近 2 年的喜怒哀乐，在脑中缓缓流淌。

	我曾妄想：挥斥方遒，信步走出考场——

	终不如愿，

	别了，

	我愿为你鼓掌。

	Goodbye,World!
	*/
	#include <algorithm>
	#include <cctype>
	#include <cstdio>
	#include <cstring>
	#define LL long long
	const int kN = 1e6 + 4e5 + 10;
	const int mod1 = 998244353;
	const int mod2 = 1e9 + 7;
	const int kBase = 23333;
	//=============================================================
	int n, cnt_pre[30], cnt_suf[30], sum_pre[kN], sum_suf[kN];
	int pw1[kN], pw2[kN], has1[kN], has2[kN];
	LL ans;
	char s[kN];
	//=============================================================
	int read() {
	int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) {
	if (ch == '-') f = -1;
	}
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) {
	w = 10 * w + ch - '0';
	}
	return f * w;
	}
	namespace Bit {
	#define low(x) (x&-x)
	int t[kN];
	void Init() {
	memset(t, 0, sizeof (t));
	}
	void Insert(int pos_) {
	for (int i = pos_; i <= n; i += low(i)) {
	t[i] ++;
	}
	}
	int Sum(int pos_) {
	int ret = 0;
	for (int i = pos_; i; i -= low(i)) {
	ret += t[i];
	}
	return ret;
	}
	#undef low
	}
	void Init() {
	ans = 0;
	Bit::Init();
	memset(cnt_pre, 0, sizeof (cnt_pre));
	memset(cnt_suf, 0, sizeof (cnt_suf));
	}
	bool Judge(int r1_, int l2_, int r2_) {
	int h1 = (1ll * (1ll * has1[r2_] - 1ll * has1[l2_ - 1] * pw1[r2_ - l2_ + 1] % mod1) % mod1 + mod1) % mod1;
	int h2 = (1ll * (1ll * has2[r2_] - 1ll * has2[l2_ - 1] * pw2[r2_ - l2_ + 1] % mod2) % mod2 + mod2) % mod2;
	return ((h1 == has1[r1_]) && (h2 == has2[r1_]));
	}
	void Prepare() {
	Init();
	scanf("%s", s + 1);
	n = strlen(s + 1);

	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	int now = s[i] - 'a';
	cnt_pre[now] ++;
	if (cnt_pre[now] % 2 == 1) {
	sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] + 1;
	} else {
	sum_pre[i] = sum_pre[i - 1] - 1;
	}

	has1[i] = 1ll * (1ll * has1[i - 1] * kBase % mod1 + now) % mod1;
	has2[i] = 1ll * (1ll * has2[i - 1] * kBase % mod2 + now) % mod2;
	}
	for (int i = n; i; -- i) {
	int now = s[i] - 'a';
	cnt_suf[now] ++;
	if (cnt_suf[now] % 2 == 1) {
	sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] + 1;
	} else {
	sum_suf[i] = sum_suf[i + 1] - 1;
	}
	}
	}
	//=============================================================
	int main() {
	int T = read();
	pw1[0] = pw2[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= kN - 10; ++ i) {
	pw1[i] = 1ll * pw1[i - 1] * kBase % mod1;
	pw2[i] = 1ll * pw2[i - 1] * kBase % mod2;
	}
	while (T --) {
	Prepare();
	for (int ab = 2; ab < n; ++ ab) {
	Bit::Insert(sum_pre[ab - 1] + 1);
	ans += 1ll * Bit::Sum(sum_suf[ab + 1] + 1);
	for (int c = 2 * ab; c + 1 <= n; c += ab) {
	if (! Judge(ab, c - ab + 1, c)) break;
	ans += 1ll * Bit::Sum(sum_suf[c + 1] + 1);
	}
	}
	printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
	}

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