CF914F Substrings in a String

知识点：bitset，SAM，根号分治

Link：https://codeforces.com/problemset/problem/914/F

一种在字符集较小情况下的多轮字符串匹配暴力的优化。

好久没写过单题的题解了格式都忘了、、、

简述

给定一仅包含小写字母的字符串 $s$，给定 $q$ 次操作，每次操作都是下列两种形式之一：

• 将字符串给定位置 $s_i$ 修改为字符 $c$。
• 给定参数 $l, r$ 和字符串 $t$，询问 $s$ 的子串 $s[l : r]$ 中字符串 $t$ 出现的次数。

$1\le |s|\le 10^5$，$1\le q\le 10^5$，$\sum |t|\le 10^5$。
6S，256MB。

分析

正经做法

$\sum |t| \le 10^5$ 是非常重要的性质，望周知。

正经做法是考虑对字符串分块，对每块建 SAM，对于修改操作则暴力重构该块的 SAM，对于查询操作考虑被查询字符串长度 $|t|$ 和块长 $k$ 的关系：

• 若 $|t|\ge k$，则此类询问最多出现 $\frac{\sum |t|}{k}$ 次，考虑每次暴力建出子串 $s[l:r]$ 的 SAM 并匹配即可。处理此类询问所需时间复杂度上界为 $O\left(n \times \frac{\sum |t|}{k} + \sum |t|\right)$ 级别。
• 若 $|t|\le k$，则分别考虑位于整块内的 $t$ 和跨越两块的 $t$。位于整块内的直接在区间内的所有 SAM 上匹配；跨越两块的同样考虑暴力，对区间内相邻的两块分界线附近长度为 $2\times |t|$ 的部分建出 SAM（或 KMP）并匹配。需要暴力建 SAM（或 KMP）的区间长度总和上限为 $\sum \left(2\times \frac{n}{k}\times |t|\right)\le 2\times n$ 级别，则处理此类询问所需时间复杂度上界为 $O\left(2\times n + \sum\left(\frac{n}{k}\times|t|\right)\right)$ 级别。

发现 $n$ 和 $\sum |t|$ 同级，当 $k=\sqrt n$ 级别时总时间复杂度为 $O\left(n\sqrt n\right)$ 级别，又给了 6S，感觉就能过了。

然而很难写并且需要大力卡常还要玄学调块长、、、

虽然思路挺一眼的但反正我是没写，吸吸。

为什么不全用 KMP 呢？因为 KMP 匹配复杂度是和原串长度有关的，而 SAM 只与匹配串长度有关，因为只保证了 $\sum |t|\le 10^5$ 所以只能用 SAM。

不正经做法

然后是不正经但是爆踩标算做法。为了把常数超大的正解放过去给的超大时限就是用来乱搞的吸吸

发现字符集较小，有一种对较小字符集做子串匹配的 bitset 搞法。

开 26 个 bitset，记 $f_{i, j} = [s_{j} = i]$，按顺序考虑匹配串 $t$（$i$ 从 0 开始计数）的每一位：

• 对于满足 $f_{t_0, j}=1$ 的位置 $j$，子串 $s[j:]$ 可以与 $t$ 至少匹配 1 位。
• 对于满足 $f_{t_0, j} = 1 \land f_{t_1, j + 1} = 1$ 的位置 $j$，子串 $s[j:]$ 可以与 $t$ 至少匹配 2 位。
• ……
• 对于满足 $f_{t_0, j} = 1 \land \dots \land f_{t_{|t| - 1}, j + |t| - 1} = 1$ 的位置 $j$，子串 $s[j : j + |t| - 1]$ 可以与 $t$ 匹配。

上述过程实际上是在对位置的集合不断地取子集，显然可以通过维护的 bitset 实现。按照上述规则手玩一下发现所有匹配的位置即为 f[t[i]] >> i 的交。此时直接统计 f[t[i]] >> i 中 1 的个数即得整个原串中所有匹配位置。在此基础上再对 bitset 进行右移后作差即得区间内匹配位置。

特别地，要注意特判被匹配区间短于匹配串的情况。

修改 $O(1)$ 级别，总时间复杂度上界为 $O\left(\sum |t|\times \frac{|s|}{w}\right)$ 级别。

但是跑了 2.7S 吸吸

代码

不正经做法：

复制复制
//
/*
By:Luckyblock
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
const int kN = 1e5 + 10;
//=============================================================
int n, q;
char s[kN];
std::bitset <kN> appear[26], ans;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0'); 
  return f * w;
}
//=============================================================
int main() {
  // freopen("1.txt", "r", stdin);
  std::cin >> s + 1; n = strlen(s + 1);
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) appear[s[i] - 'a'].set(i);
  q = read();
  
  while (q --) {
    int opt = read();
    if (opt == 1) {
      int pos; char val;
      std::cin >> pos >> val;
      appear[s[pos] - 'a'].reset(pos);
      s[pos] = val;
      appear[s[pos] - 'a'].set(pos);
    } else {
      int l, r; std::string t;
      std::cin >> l >> r >> t;
      if (t.size() > r - l + 1) {
				std::cout << "0\n";
				continue;
			}
      ans.set();
      for (int i = 0, sz = t.size(); i < sz; ++ i) ans &= appear[t[i] - 'a'] >> i;
      std::cout << (ans >> l).count() - (ans >> (r - t.size() + 2)).count() << '\n'; 
    }
  }
  return 0;
}