「矩阵求逆」P4783 【模板】矩阵求逆

知识点：线性代数

Link：Luogu

大家好啊，我不会线代，下学期才开，所以这题抄的，只是简单记录做法，等到学了线代再回来更深一步理解。

但是这做法又易懂又好记又牛逼。

主要抄袭对象：https://www.luogu.com.cn/blog/_post/162629。

不过在此之前需要担心一下开学的微积分考试妈的

简述

给定一 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\)，判断该矩阵是否可逆，如果可逆则求该矩阵的逆矩阵，答案对 \(10^9+7\) 取模。
\(1\le n\le 400\)，\(0\le a_{i,j}< 10^9+7\)。
1S，128MB。

分析

这里仅给出一种使用高斯-约旦消元的做法。

记 \([AB]\) 表示将一个 \(n\times m_b\) 的矩阵 \(B\) 拼接一个 \(n\times m_a\) 的矩阵 \(A\) 之后形成的矩阵，即有：

\[[AB]_{i, j} = \begin{cases} A_{i, j} &(j\le m_a)\\ B_{i, j - m_a} &(m_a <j \le m_a+m_b) \end{cases}\]

记 \(I\) 为 \(n\times n\) 的单位矩阵，则有：

\[A^{-1}\times [AI] = [IA^{-1}] \]

则若我们可以通过对矩阵 \([AI]\) 进行若干操作使得矩阵的左半部分（即拼接后左半边的 \(A\)）转化为单位矩阵 \(I\)，则我们进行的操作等价于令 \(A^{-1}\) 乘上了矩阵 \([AI]\)，则得到的矩阵的右半部分即为所求的逆矩阵 \(A^{-1}\)。

使用高斯-约旦法将 \([AI]\) 的左半边消成对角矩阵，再令每行除以系数即可。

由于是在模意义下，消元时的除法需要用逆元代替。

总复杂度 \(O(n^3)\) 级别。

代码

//By:Luckyblock
/*
*/
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define LL long long
const int kN = 410;
const LL p = 1e9 + 7;
//=============================================================
int n;
LL a[kN][kN << 1];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = - 1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + ch - '0';
  return f * w;
}
LL qpow(LL x_, LL y_) {
  LL ret = 1;
  while (y_) {
    if (y_ & 1) ret = ret * x_ % p;
    x_ = x_ * x_ % p, y_ >>= 1ll;
  }
  return ret;
}
bool Gauss_jordan() {
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    int pos = i;
    for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) {
      if (a[j][i] > a[pos][i]) pos = j;
    }
    if (pos != i) std::swap(a[i], a[pos]);
    if (!a[i][i]) return false;

    LL inv = qpow(a[i][i], p - 2);
    for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
      if (j == i) continue;
      LL delta = a[j][i] * inv % p;
      for (int k = 1; k <= 2 * n; ++ k) {
        a[j][k] = ((a[j][k] - delta * a[i][k]) % p + p) % p;
      }
    }
    for (int j = 1; j <= 2 * n; ++ j) a[i][j] = a[i][j] * inv % p;
  }
  return true;
}
//=============================================================
int main() {
  // freopen("1.txt", "r", stdin);
  n = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
      a[i][j] = read(), a[i][i + n] = 1;
    }
  }
  if (!Gauss_jordan()) {
    printf("No Solution\n");
    return 0;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    for (int j = n + 1; j <= 2 * n; ++ j) {
      printf("%lld ", a[i][j]);
    }
    printf("\n");
  }
  return 0;
}