「二元一次不定方程(exgcd)」P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
知识点：exgcd
Link：Luogu
为什么之前没写？因为这题出的挺晚，出的时候都忘了嘻嘻
主要抄袭对象：https://www.luogu.com.cn/blog/McHf/p5656-exgcd。
简述
\(T\) 组数据，每组数据给定参数 \(a, b, c\)，描述了一个不定方程 \(ax+by = c\)。要求：
- 如果该方程无整数解，输出
-1。- 若该方程有整数解，且有正整数解，则输出其正整数解的数量，所有正整数解中 \(x\) 的最小值，所有正整数解中 \(y\) 的最小值，所有正整数解中 \(x\) 的最大值，以及所有正整数解中 \(y\) 的最大值。
- 若方程有整数解，但没有正整数解，你需要输出所有整数解中 \(x\) 的最小正整数值，\(y\) 的最小正整数值。
\(1\le T\le 2\times 10^5\)，\(1\le a, b, c\le 10^9\)。
500ms，16MB。
分析
对于 \(ax + by = c\)，显然应有 \(\gcd(a, b) \mid c\)，若不满足该条件则无解，否则由裴蜀定理，\(ax + by = \gcd(a, b)\) 有无数组整数解，使用 exgcd 即可求得该不定方程的一组整数特解 \((x', y')\)，则有：
\(\left(\dfrac{c\times x'}{\gcd(a, b)},\dfrac{c\times y'}{\gcd(a, b)}\right)\) 即为原不定方程的一组整数特解。我们记这组特解为 \((x_0, y_0)\)，同时记 \(d = \gcd(a, b)\)，接下来考虑在这一组特解的基础上，求得题目所需的解。
考虑将 \(x_0\) 变为 \(x_0 + p\)，设 \(p\) 为正整数，则存在正整数 \(q\)，令 \(x_0\) 变为 \(x_0+p\) 的同时会将 \(y_0\) 缩小到 \(y_0-q\)，则有 \(a(x_0 + p) + b(y_0 - q) = c\)。联立 \(ax_0+by_0=c\) 可得 \(p = \frac{b\times q}{a}\)。则有 \(a\mid b\times q\)，又有 \(b\mid b\times q\)，则 \(b\times q\) 的最小值应为 \(\operatorname{lcm} (a,b)\)。则可得 \((x_0, y_0)\) 变化的最小变化满足：
由于 \(\operatorname{lcm} (a,b) | b\times q\)，易证 \((x_0, y_0)\) 的变化一定是 \((p_0, q_0)\) 的整数倍。
然后开始构造答案：
首先将 \(x_0\) 变为最小的正整数值，即找到 \(k\in \N\)，使得：\(x_0 + k\times p_0 \ge 1\)，则有：\(k\ge \frac{1-x_0}{p}\)，\(k\) 应取 \(\left\lceil\frac{1-x_0}{p}\right\rceil\)，则令 \(x_1 = x_0 + k\times p\)，\(y_1 = y_0 - k\times q\)，\((x_1, y_1)\) 即为 \(x\) 最小的正整数解。此时检查 \(y_1\) 的符号，如果 \(y_1>0\)，则有正整数解，否则由于 \(x\) 已经取了最小的正整数解，则 \(y\) 不可能也为正整数，原方程无正整数解。
然后考虑每一问：
对于有正整数解的情况：
- 解的个数。除去当前得到的特解 \((x_1, y_1)\)，其他解的个数即在当前解基础上，保证 \(y>0\) 的情况下令 \(y-q_0\) 的次数，答案即 \(\left\lfloor\frac{y-1}{q_0}\right\rfloor + 1\)。
- \(x\) 的最小整数值。即 \(x_1\)。
- \(y\) 的最小正整数值。即在 \(y_1\) 基础上减去最多次 \(q_0\) 后 \(y\) 的值，答案即 \((y_1 - 1)\bmod q + 1\)。
- \(x\) 的最大整数值。即上一问中 \(y\) 对应的 \(x\)，答案即 \(x_1 + \left\lfloor\frac{y-1}{q_0}\right\rfloor\times p\)。
- \(y\) 的最大整数值。即 \(y_1\)。
对于无正整数解的情况：
- \(x\) 的最小正整数值。即 \(x_1\)。
- \(y\) 的最小正整数值。同构造 \(x_1\) 时使用的方法，取 \(k = \left\lceil\frac{1-y_0}{p}\right\rceil\)，答案即 \(y_0 + k\times q_0\)。
总复杂度 \(O(T\log A)\) 级别，\(A\) 为值域。
注意烦的一批的类型转换。
ceil() 的返回值是 double 类型，long long * double = double，此时可能会出现精度损失，需要注意作乘法前先把 ceil() 的返回值转化为 long long 类型。
代码
//By:Luckyblock
/*
*/
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define LL long long
//=============================================================
//=============================================================
inline LL read() {
LL f = 1, w = 0; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = - 1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3ll) + (w << 1ll) + ch - '0';
return f * w;
}
LL exgcd(LL a_, LL b_, LL &x_, LL &y_) {
if (!b_) {
x_ = 1, y_ = 0;
return a_;
}
LL d_ = exgcd(b_, a_ % b_, y_, x_);
y_ -= a_ / b_ * x_;
return d_;
}
//=============================================================
int main() {
// freopen("1.txt", "r", stdin);
int T = read();
while (T --) {
LL a = read(), b = read(), c = read(), x, y;
LL d = exgcd(a, b, x, y);
if (c % d != 0) {
printf("-1\n");
continue;
}
x *= c / d, y *= c / d;
LL p = b / d, q = a / d, k;
k = ceil((1.0 - x) / p), x += p * k, y -= q * k;
if (y > 0) {
printf("%lld ", (y - 1) / q + 1);
printf("%lld ", x);
printf("%lld ", (y - 1) % q + 1);
printf("%lld ", x + (y - 1) / q * p);
printf("%lld ", y);
} else {
printf("%lld ", x);
printf("%lld ", y + q * (LL) ceil((1.0 - y) / q));
}
printf("\n");
}
return 0;
}
