P6186 [NOI Online #1 提高组] 冒泡排序

知识点：前缀和

原题面：Luogu。

不知道知识点该写什么了= =

简述

给定一个 $1 ∼ n$ 的排列 $p_i$，接下来有 $m$ 次操作，操作共两种：

1. 交换操作：给定 $x$，将当前排列中的第 $x$ 个数与第 $x+1$ 个数交换位置。
2. 询问操作：给定 $k$，请你求出当前排列经过 $k$ 轮冒泡排序后的逆序对个数。
   对一个长度为 $n$ 的排列 $p_i$ 进行一轮冒泡排序的伪代码如下：

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for i = 1 to n-1:
 if p[i] > p[i + 1]:
   swap(p[i], p[i + 1])

$2\le n,m\le 2\times 10^5$，$1\le x<n$，$0\le k<2^{31}$。
1S，256MB。

分析

我们定义“$a_i$ 的逆序对数”表示“以 $a_i$ 为较小元素的逆序对的个数”。照例先手玩数据找找结论。

• $a_i$ 即 $[1, i - 1]$ 中大于 $a_i$ 的数的个数。
• 对于某个 $a_i$，如果其逆序对数不为 0，进行一轮冒泡排序会且仅会将它左侧最大的数移动到 $a_i$ 的右侧，则进行一轮冒泡排序会且仅会使它的逆序对数 -1。
• 记 $a_i$ 的逆序对数为 $b_i$，则进行 $k$ 轮冒泡排序后总逆序对数为 $\sum \max(b_i - k, 0)$。

考虑维护两个权值树状数组，分别维护每种权值的数的个数、每种权值的数的权值和，查询时仅需查询 $>k$ 的权值和，再减去这些权值的个数乘 $k$ 即可。

再考虑修改操作，发现仅会影响 $b_x$ 和 $b_{x+1}$，仅需根据 $a_x$ 和 $a_{x+1}$ 的大小关系对权值树状数组单点修改即可。

总复杂度 $O((n + m) \log n)$ 级别。

注意权值可能为 0，需要为树状数组的下标添加增量。

代码

//By:Luckyblock
/*
*/
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define LL long long
const int kN = 2e5 + 10;
//=============================================================
int n, m, a[kN], b[kN];
LL ans = 0;
//=============================================================
inline int read() {
	int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = - 1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + ch - '0';
	return f * w;
}
namespace Bit1 {
	#define lowbit(x) (x&-x)
	const int lim = 1e6;
	const int kM = lim + 10;
	LL t[kM];
	void Insert(int pos_, int val_) {
		for (int i = pos_; i <= lim; i += lowbit(i)) {
			t[i] += val_;
		}
	}
	LL sum(int pos_) {
		LL ret = 0;
		for (int i = pos_; i; i -= lowbit(i)) {
			ret += t[i];
		}
		return ret;
	}
	LL Query(int pos_) {
		return sum(lim) - sum(pos_);
	}
}
namespace Bit2 {
	#define lowbit(x) (x&-x)
	const int lim = 1e6;
	const int kM = lim + 10;
	LL t[kM], cnt[kM];
	void Insert(int pos_, int val_, int c_) {
		++ pos_;
		for (int i = pos_; i <= lim + 1; i += lowbit(i)) {
			t[i] += val_;
			cnt[i] += c_;
		}
	}
	LL sumt(int pos_) {
		++ pos_;
		LL ret = 0;
		for (int i = pos_; i; i -= lowbit(i)) ret += t[i];
		return ret;
	}
	LL sumcnt(int pos_) {
		++ pos_;
		LL ret = 0;
		for (int i = pos_; i; i -= lowbit(i)) ret += cnt[i];
		return ret;
	}
	LL Query(int k_) {
		k_ = std::min(k_, n - 1);
		LL s1 = sumt(lim) - sumt(k_);
		LL s2 = sumcnt(lim) - sumcnt(k_);
		return s1 - s2 * k_;
	}
}
//=============================================================
int main() {
	// freopen("1.txt", "r", stdin);
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		a[i] = read();
		b[i] = Bit1::Query(a[i]);
		Bit1::Insert(a[i], 1);
		Bit2::Insert(b[i], b[i], 1);
	}
	while (m --) {
		int opt = read(), x = read();
		if (opt == 1) {
			int ax = a[x], ax1 = a[x + 1];
			int bx = b[x], bx1 = b[x + 1];
			std::swap(a[x], a[x + 1]), std::swap(b[x], b[x + 1]);
			Bit2::Insert(bx, -bx, -1), Bit2::Insert(bx1, -bx1, -1);
			if (ax < ax1) {
				++ b[x + 1];
				Bit2::Insert(bx1, bx1, 1); 
				Bit2::Insert(bx + 1, bx + 1, 1);
			} else {
				-- b[x];
				Bit2::Insert(bx1 - 1, bx1 - 1, 1);
				Bit2::Insert(bx, bx, 1);
			}
		} else {
			printf("%lld\n", Bit2::Query(x));
		}
	}
	return 0;
}