CF311B Cats Transport

原题面：CF，Luogu。

斜率优化，$k_i$、$x_i$ 均单调，单调队列。

neko nyanyanya~

简述

一条数轴上有 $n$ 个点，第 $i$ 个点与第 $i-1$ 个点的距离为 $d_i$，有 $p$ 个人在第 $1$ 个点上。有 $m$ 只 neko，第 $i$ 只 neko 位于第 $h_i$ 个点上，neko 会在 $T_i$ 时间开始等待人的到来。
没个人可以从任意时间从第 $1$ 个点出发，按编号顺序依次经过各点，速度为 1 个单位长度 1 秒，中间不停下。每经过一个点，就会将该点上处于等待状态的 neko 接上。
每只 neko 的等待时间为其被接上时间与开始等待时间的差。要求安排每个人出发的时间，最小化 neko 等待的时间之和。
$2\le h_i\le n\le 10^5$，$1\le m\le 10^5$，$1\le p\le 100$，$1\le d_i\le 10^4$，$1\le T_i\le 10^9$。
2S，256MB。

分析

可以简单地 YY 出一个与 $t$ 相关的 DP 状态，但 $t$ 过大，猜测 DP 状态与 $t$ 无关，考虑找下结论。可以发现每个人接上的 neko 中，至少有一只恰好刚开始等待人的到来。正确性显然，若所有 neko 都是等待了一段时间后再被接上，不如提前人的出发时间，直到有一只刚开始等待，在不影响接上了哪些 neko 的前提下减少等待时间之和。

前缀和预处理点 $1$ 到各点的距离 $\operatorname{dis}_i$。对于每只 neko，容易求得一个人从何时出发能够恰好接上它，显然该时间为 $t_i = T_i - \operatorname{dis}_{h_i}$。
考虑将所有 neko 按照 $t_i$ 排序。显然在满足一开始的结论的前提下，每个人接到的 neko 都对应排序后的一段区间 $[l,r]$，刚开始等的 neko 一定是第 $r$ 只 neko（即 $t_i$ 最大的），则这个人的出发时间为 $t_r$，区间内 neko 的等待时间之和为 $\sum t_r - t_i$。
问题可以抽象为给定一长度为 $m$ 的数列 $t$，要求将 $t$ 分为 $p$ 段，每段的代价为该段最右的数减去该段每个值的和，最小化代价和。

对于抽象后的问题，设 $s_i = \sum_{j\le i}t_j$，设 $f_{i,j}$ 表示将前 $i$ 个数分为 $j$ 段的最小代价和，转移时先枚举段数 $k$，再枚举最后一段，则有：

$$\begin{aligned} f_{i,k} &= \min_{j = 0}^{i - 1} \left\{ f_{j, k - 1} + \sum_{l = j + 1}^{i} \left( t_i - t_l \right) \right\}\\ &= \min_{j = 0}^{i - 1} \left\{ f_{j, k - 1} + (i - j)t_i - (s_i - s_j) \right\}\\ &= i\cdot t_i -s_i + \min_{j = 0}^{i - 1} \left\{ \left(f_{j, k - 1} +s_j\right) - t_i\cdot j \right\} \end{aligned}$$

方程中出现了乘积项，先通过枚举固定 $k$ 后，这显然是一个可以斜率优化的形式，套路地设：

$$\begin{aligned} x_i &= i\\ y_i &= f_{i,k - 1} + s_j\\ k_i &= t_i\\ b_i &= f_{i,k} - i\cdot t_i + s_i \end{aligned}$$

显然应最小化 $b_i$，又 $x_i$ 与 $k_i$ 都随 $i$ 的增加单调不降，单调队列维护下凸包即可。
总复杂度 $O(n + m\log m + pm)$ 级别。

代码

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//知识点：斜率优化
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
#define LD long double
const int kN = 1e5 + 10;
//=============================================================
int n, m, p, head = 1, tail, q[kN];
LL sumd[kN], t[kN], s[kN], f[kN][101];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmin(LL &fir, LL sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
LD X(int x_) {
  return x_;
}
LD Y(int id_, int x_) {
  return f[x_][id_] + s[x_];
}
LD K(int id_, int x_, int y_) {
  if (X(x_) == X(y_)) return (Y(id_, y_) > Y(id_, x_) ? 1e18 : -1e18);
  return (LD) ((Y(id_, y_) - Y(id_, x_)) / (X(y_) - X(x_)));
}
int Query(int id_, int now_) {
  LD know = t[now_];
  while (head < tail && K(id_, q[head], q[head + 1]) <= know) ++ head;
  return q[head];
}
void Insert(int id_, int now_) {
  while (head < tail && 
         K(id_, q[tail - 1], q[tail]) >= K(id_, q[tail - 1], now_)) -- tail;
  q[++ tail] = now_;
}
void Init() {
  n = read(), m = read(), p = read();
  for (int i = 2; i <= n; ++ i) sumd[i] = sumd[i - 1] + read();
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    int h = read(), nowt = read();
    t[i] = nowt - sumd[h];
  }
  std::sort(t + 1, t + m + 1);
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) s[i] = s[i - 1] + t[i];
}
//=============================================================
int main() { 
  Init();
  memset(f, 63, sizeof(f));
  f[0][0] = 0;
  for (int k = 1; k <= p; ++ k) {
    head = 1, tail = 0;
    Insert(k - 1, 0);
    for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
      if (i >= k) {
        int j = Query(k - 1, i);
        f[i][k] = f[j][k - 1] + 1ll * (i - j) * t[i] - s[i] + s[j];
      }
      Insert(k - 1, i);
    }
  }
  printf("%lld\n", f[m][p]);
  return 0; 
}