「十二省联考 2019」异或粽子
知识点：Trie，异或，堆
简述
给定一长度为 \(n\) 的数列 \(a\)，给定参数 \(k\)。求前 \(k\) 大的区间异或和之和。
\(1\le n\le 5\times 10^5\)，\(1\le k\le \min\left\{ \frac{n(n-1)}{2}, 2\times 10^5 \right\}\)，\(0\le a_i\le 2^{32} - 1\)。
2S，1G。
分析
先取前缀异或和 \(\operatorname{sum}\)，将区间异或和转化为两前缀相异或的形式，问题变为求前 \(k\) 大的 \(\operatorname{sum} \oplus \operatorname{sum}_{l-1}(l-1 < r)\) 的和。可能有贡献的 \(l,r\) 对呈现三角的形态，考虑令 \(k\) 翻倍，再使最终答案除 2，以除去有序对 \(l-1< r\) 的限制。
再将问题直接放到 \(\operatorname{sum}\) 上考虑，答案即 \(\operatorname{sum}_0\sim \operatorname{sum}_n\) 中前 \(2k\) 大的任意两数异或值的和。这样可以保证原问题中前 \(k\) 大元素都会被统计到两次，且根据异或的自反性，不合法的满足 \(l-1 = r\) 数对贡献为 0，不会影响答案。
对于一个确定的 \(\operatorname{sum}_x\)，考虑如何找到一个最大的 \(\operatorname{sum}_y\)，使得 \(\operatorname{sum}_x\oplus \operatorname{sum}_{y}\) 最大。显然可以在数列 \(\operatorname{sum}\) 构成的 Trie 上贪心来在 \(O(\log w)\) 的时间复杂度内解决。类比线段树上二分，在 Trie 上维护 \(\operatorname{size}\) 后可以在同等时间复杂度内求得第 \(t\) 大的 \(\operatorname{sum}_x\oplus \operatorname{sum}_{y}\)。
考虑原问题中的前 \(k\) 大这一限制，想到用 「NOI2010」超级钢琴 的套路解决。定义状态 \((v, x, t)\) 表示对于确定的 \(\operatorname{sum}_x\)，第 \(t\) 大的 \(\operatorname{sum}_x\oplus \operatorname{sum}_y\) 是 \(v\)。初始时枚举所有元素，按照上述 Trie 上二分的做法构建初始状态 \((v, x, 1)\) 并放入以 \(v\) 为关键字的大根堆中。每次取出堆顶状态 \((v,x,t)\)，统计贡献 \(v\)，并将新状态 \((v', x, t + 1)\) 放入堆中。显然这样能够保证枚举到所有有贡献的状态。
任意时刻时堆中最多有 \(n\) 个元素， 插入操作会发生 \(n+k\) 次，上述算法总时间复杂度为 \(O\left(\left(n + k\right)\left(\log n + \log w\right)\right)\)。
如果不想做第一步有序对转无序对的转化，可以考虑建立可持久化 Trie 树，构建初始状态时枚举 \(\operatorname{sum}_y\)，在第 \(y-1\) 棵 Trie 上查询，可以保证查询到的 \(\operatorname{sum}_x\) 一定满足 \(x<y\)。理论时间复杂度与上一致，但是空间占用翻倍，顺带影响了时间，最后时空双双被吊打：（不可持久化 vs 可持久化）。
此外，还有一种 \(O(n\log^2 w)\) 级别的复杂度与 \(k\) 无关的做法，可以参考：这题。
注意 LL，以及空间限制。
代码
Trie
//知识点：Trie，异或，堆
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define pr std::pair
#define mp std::make_pair
#define LL long long
const int kN = 5e5 + 10;
//=============================================================
LL n, k, ans, sum[kN];
std::priority_queue <pr <LL, pr <int, int> > > q;
//=============================================================
inline LL read() {
LL f = 1, w = 0;
char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
if (ch == '-') f = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
if (sec < fir) fir = sec;
}
namespace Trie {
const int kMaxNode = kN << 5;
int node_num, siz[kMaxNode], tr[kMaxNode][2];
LL val[kMaxNode];
void Insert(LL val_) {
int now_ = 0;
for (LL i = 33; i >= 0; -- i) {
int ch = val_ >> i & 1ll;
if (!tr[now_][ch]) tr[now_][ch] = ++ node_num;
now_ = tr[now_][ch];
siz[now_] ++;
}
val[now_] = val_;
}
LL Query(int now_, int rk_, LL lth_, LL val_) {
if (lth_ < 0) return val[now_];
int ch = val_ >> lth_ & 1, nowsiz = siz[tr[now_][ch ^ 1]];
if (rk_ <= nowsiz) return Query(tr[now_][ch ^ 1], rk_, lth_ - 1, val_);
return Query(tr[now_][ch], rk_ - nowsiz, lth_ - 1, val_);
}
}
void Init() {
n = read(), k = read();
Trie::Insert(0);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
sum[i] = sum[i - 1] ^ read();
Trie::Insert(sum[i]);
}
}
//=============================================================
int main() {
Init();
for (int i = 0; i <= n; ++ i) {
LL mx = sum[i] ^ Trie::Query(0, 1, 33, sum[i]);
q.push(mp(mx, mp(i, 1)));
}
for (int i = 1; i <= 2 * k; ++ i) {
pr <LL, pr <int, int> > t = q.top(); q.pop();
int pos = t.second.first, rk = t.second.second;
LL mx = t.first, newmx = sum[pos] ^ Trie::Query(0, rk + 1, 33, sum[pos]);
ans += mx;
q.push(mp(newmx, mp(pos, rk + 1)));
}
printf("%lld\n", ans >> 1ll);
return 0;
}
可持久化 Trie
//
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define pr std::pair
#define mp std::make_pair
#define LL long long
const int kN = 5e5 + 10;
//=============================================================
LL n, k, ans, sum[kN];
std::priority_queue <pr <LL, pr <int, int> > > q;
//=============================================================
inline LL read() {
LL f = 1, w = 0;
char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
if (ch == '-') f = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
if (sec < fir) fir = sec;
}
namespace Trie {
const int kMaxRoot = kN;
const int kMaxNode = kN << 6;
int node_num, root[kMaxRoot], siz[kMaxNode], tr[kMaxNode][2];
LL val[kMaxNode];
void Insert(int &now_, int pre_, int lth_, LL val_) {
now_ = ++ node_num;
siz[now_] = siz[pre_] + 1;
tr[now_][0] = tr[pre_][0], tr[now_][1] = tr[pre_][1];
if (lth_ < 0) {
val[now_] = val_;
return ;
}
int ch = val_ >> lth_ & 1;
Insert(tr[now_][ch], tr[pre_][ch], lth_ - 1, val_);
}
LL Query(int now_, int rk_, LL lth_, LL val_) {
if (lth_ < 0) return val[now_];
int ch = val_ >> lth_ & 1, nowsiz = siz[tr[now_][ch ^ 1]];
if (rk_ <= nowsiz) return Query(tr[now_][ch ^ 1], rk_, lth_ - 1, val_);
return Query(tr[now_][ch], rk_ - nowsiz, lth_ - 1, val_);
}
}
void Init() {
n = read(), k = read();
Trie::Insert(Trie::root[0],0, 35, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
sum[i] = sum[i - 1] ^ read();
Trie::Insert(Trie::root[i], Trie::root[i - 1], 35, sum[i]);
}
}
//=============================================================
int main() {
Init();
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
LL mx = sum[i] ^ Trie::Query(Trie::root[i - 1], 1, 35, sum[i]);
q.push(mp(mx, mp(i, 1)));
}
for (int i = 1; i <= k; ++ i) {
pr <LL, pr <int, int> > t = q.top(); q.pop();
int pos = t.second.first, rk = t.second.second;
ans += t.first;
if (rk + 1 < pos) {
LL newmx = sum[pos] ^ Trie::Query(Trie::root[pos - 1], rk + 1, 35, sum[pos]);
q.push(mp(newmx, mp(pos, rk + 1)));
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
