「笔记」Link Cut Tree

写在前面

世界上怎么会有这么优美的数据结构！

这是一篇 Rewrite，「笔记」LCT 的 1.0 版本已经被削除了。

前置知识 Splay，树链剖分，请务必充分理解它们的思想。

本文是具有主观性质的一些理解，用于自我总结复习，Link Cut Tree 初学者请移步其它博客。作者水平有限，若有不当之处请不吝赐教。
以及不要太在意 Tarjan 是怎么想到它的= =

动态树问题

给定一片森林，要求在线支持下列操作：

修改路径权值。

查询路径权值和。

断开并连接一些边，保证仍是一片森林。

要求单次操作复杂度 \(O(\log n)\) 级别。

若给定的森林是静态的，即不存在操作 3，该问题可以通过对原树的树链剖分，将树上路径/子树问题转化为基于 dfs 序的序列问题，从而使用序列静态数据结构维护。

加入动态加/删边操作后，我们仍然考虑对原树进行树链剖分来维护路径信息。在静态问题中我们使用了静态数据结构维护树链。在这里可以考虑使用易于修改的 Splay 动态维护树链信息。
换句话说，LCT 是通过 Splay 动态维护树链剖分结构，从而将树上问题转化为 Splay 上的序列问题的一种数据结构。

定义

实链剖分

实链剖分是一种对原树的树链剖分的方式，它将树划分成了多条实链：

每个节点能且仅能存在于一条实链中。实链是节点深度递增的一条树链，实链与实链间通过虚边连接。
实链中的边称为实边，称一条实边的儿子是父亲的实儿子。显然一个节点至多有一个实儿子，但可能有多个虚儿子。
在实链剖分中，对于每个节点，仅记录其父亲与实儿子的信息，即“认父不认子”。

确定边的虚实的标准是人的主观能动，即可以灵活地“随意划分”，以达到灵活修改剖分结构的功能。以下是一个实链剖分的例子：

Link-Cut Tree

LCT 使用 Splay 来维护实链。每一条实链中的节点构成一棵 Splay。Splay 具有以下性质：

每棵 Splay 维护原树中的一条实链，且中序遍历这棵 Splay 得到的点序列，从前到后对应原树自上到下的这条实链。
原树每个节点与 Splay 节点一一对应。
对于每一棵对应实链的 Splay，与一般 Splay 不同的是，其根节点也存在父亲节点，指向原树中其父亲节点。这条边对应着原树中两条实链间的虚边。所有 Splay 节点中仅有原树根对应节点的父节点为空。
所有实链的 Splay 的父子关系构了一棵树，称为辅助树。由以上性质，辅助树可以体现原树中的所有父子关系，两棵原树的辅助树不同，两棵原树就不同。维护操作时仅需维护辅助树即可。

下图展示了上述实链剖分对应的一种合法的辅助树：

小结

实链剖分是一种树链剖分的方式。实链是节点深度递增的一条树链，实链与实链间通过虚边连接。
对于原树的实链：每棵 Splay 维护一条实链，其中序遍历对应自上到下的这条实链。
对于原树的虚边：子节点是所在 Splay 的根，且其父亲指向虚边的父节点。但父节点的儿子不指向子节点。
辅助树可以在满足辅助树、Splay 的性质下任意换根。

分步实现

以下以 P1501 Tree II 为例。

给定一 \(n\) 个节点的树，初始点权为 \(1\)。给定 \(m\) 次操作：

路径加。

路径乘。

删去一条边，再加入一条边，保证操作完之后仍然是一棵树。

查询路径和，答案对 \(51061\) 取模。

\(1\le n,m\le 10^5\)。
2S，512MB。

定义及声明

#define f fa[now_]
#define ls son[now_][0]
#define rs son[now_][1]
const int kMaxNode = kN;
int fa[kMaxNode], son[kMaxNode][2], val[kMaxNode]; //Splay 的结构信息
LL siz[kMaxNode], sum[kMaxNode], tagplus[kMaxNode], tagprod[kMaxNode]; //子树大小，子树和，两种标记
bool tagrev[kMaxNode]; //Splay 的子树反转标记

Splay

void Pushup(int now_) { //维护子树和 和 子树大小
  sum[now_] = (sum[ls] + sum[rs] + val[now_]) % mod;
  siz[now_] = siz[ls] + siz[rs] + 1;
}
void PushReverse(int now_) { //子树反转标记，使得 Splay 节点的中序遍历反向。若原 splay 表示一条自顶向下的链，反转相当于将 splay 表示的链的边反向，父子关系互换。
  if (!now_) return;
  std::swap(ls, rs);
  tagrev[now_] ^= 1;
}
void PushPlus(int now_, LL val_) { //子树加
  if (!now_) return;
  val[now_] = (val[now_] + val_) % mod;
  sum[now_] = (sum[now_] + siz[now_] * val_ % mod) % mod;
  tagplus[now_] = (tagplus[now_] + val_) % mod;
}
void PushProd(int now_, LL val_) { //子树乘
  if (!now_) return;
  val[now_] = val[now_] * val_ % mod;
  sum[now_] = sum[now_] * val_ % mod;
  tagplus[now_] = tagplus[now_] * val_ % mod;
  tagprod[now_] = tagprod[now_] * val_ % mod;
}
void Pushdown(int now_) { //注意下放顺序
  LL plus = tagplus[now_], prod = tagprod[now_], rev = tagrev[now_];
  if (prod != 1) PushProd(ls, prod), PushProd(rs, prod);
  if (plus) PushPlus(ls, plus), PushPlus(rs, plus);
  if (rev) PushReverse(ls), PushReverse(rs);
  tagprod[now_] = 1, tagplus[now_] = 0, tagrev[now_] = 0;
}
bool IsRoot(int now_) { //判断 now_ 是否为当前 Splay 的根
  return son[f][0] != now_ && son[f][1] != now_;
}
bool WhichSon(int now_) {
  return son[f][1] == now_;
}
void Rotate(int now_) {
  int fa_ = f, w = WhichSon(now_);
  if (!IsRoot(f)) son[fa[f]][WhichSon(f)] = now_;
  f = fa[f];

  son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];
  fa[son[fa_][w]] = fa_;

  son[now_][w ^ 1] = fa_;
  fa[fa_] = now_;
  Pushup(fa_), Pushup(now_); 
}
void Update(int now_) { //将 Splay 路径上的所有标记下放
  if (!IsRoot(now_)) Update(f);
  Pushdown(now_);
}
void Splay(int now_) {
  Update(now_);
  for (; !IsRoot(now_); Rotate(now_)) {
    if (!IsRoot(f)) Rotate(WhichSon(f) == WhichSon(now_) ? f : now_);
  }
}

Access 构造实链

上面提到，LCT 使用 Splay 来维护实链，可以将实链信息转化为 Splay 的子树信息。由此我们可以考虑把需要维护的对象拿出来，构成一个 Splay，再对该 Splay 进行操作即可。
Access 函数的作用，是将当前辅助树的根到指定节点的路径上所有点，构造成一个 Splay。即使得原树中由根到指定节点的链成为实链。

下图展示 Access(F) 后辅助树的变化。

实现时自下向上构建，舍弃父亲的原有右实儿子，更新为深度更深的链的根即可。

void Access(int now_) { //使得树中由根->now 的链成为实链，构造出由它们组成的 Splay，满足 Splay 的中序遍历深度递减的性质。
  //自下向上构建，舍弃父亲的原有右儿子，换成 -> last 的链。
  for (int last_ = 0; now_; last_ = now_, now_ = f) {
    Splay(now_), rs = last_;
    Pushup(now_);
  }
}

MakeRoot 换根

使指定节点成为原树的根。
画张图可以发现，换根相当于将根到指定节点的路径反向。

于是可以先使原树中由根到指定节点的链成为实链，再使它成为 Splay 的根。
此时的 Splay 表示一条自顶向下的链，路径反向等价于将 splay 表示的链的边反向，父子关系互换。这又等价于反转 Splay 的中序遍历，直接在 Splay 的根上打反转标记即可。

void MakeRoot(int now_) { //使 now 成为原树的根
  Access(now_); //先使得树中由根->now 的链成为实链，构造出由它们组成的 Splay。
  Splay(now_); //使 now 成为 splay 的根节点
  PushReverse(now_); //将根->now 的链反转，使 now 成为原树的根。原理参考 PushReverse 函数的注释。
}

Find 找到指定节点所在原树的根

构造出根到指定节点的 Splay 后，根据实链节点深度递增的性质，Splay 中序遍历的第一个元素即为原树的根。

int Find(int now_) { //找到 now_ 所在原树的根
  Access(now_); 
  Splay(now_);
  while (ls) Pushdown(now_), now_ = ls; //使得树中由根->now 的链成为实链，构造出由它们组成的 Splay，再找到 Splay 中序遍历的第一个元素，即为原树的根。
    
  Splay(now_); //为了下一步操作，把根再转回去
  return now_; 
}

Split 构造由路径组成的 Splay

使 \(x\) 成为根，构造出根到 \(y\) 的 Splay 即得。此时 Splay 根 \(y\) 的子树信息即为路径信息。
通过该操作可以取出指定的原树的一条路径放入 Splay 中，从而将路径问题转化为序列数据结构问题。

void Split(int x_, int y_) { //构造由路径 x->y 组成的 Splay
  MakeRoot(x_); //使 x 成为根，构造出根 -> y 的 Splay 即得，Splay 根的子树信息即为路径信息。
  Access(y_);
  Splay(y_);
}

Link 连边

使 \(x\) 成为根，将根的父亲指向 \(y\) 即可。注意判断两点之间是否已经连通。

void Link(int x_, int y_) { //加边 (x,y)
  MakeRoot(x_); //使 x 成为根，再给根一个父亲
  if (Find(y_) != x_) fa[x_] = y_;
}

Cut 删边

先使 \(x\) 成为根。再使用 Find 判断两点是否连通。

之后需要判断两点间是否有直接连边。
在 Find 中 Access(y) 之后，\(y\) 所在的 Splay 由 \(x\rightarrow y\) 的链构成。又 \(x\) 是 Splay 的根，\(y\) 的中序遍历恰好是 \(x\) 之后的一个，则若边 \((x,y)\) 存在，则 \(y\) 的位置只有一种可能：
\(y\) 是 \(x\) 的右儿子，且 \(y\) 没有左儿子，按照下述代码判断即可。

void Cut(int x_, int y_) { //删边 (x,y)
  MakeRoot(x_); //使 x 成为根
  //Find(y_) != x_ 保证 y 与 x 连通
  //在 Find 函数中 Access(y) 之后，y 所在的 splay 由 x->y 的链构成。又 x 是 splay 的根，y 的中序遍历在 x 后，则若边 (x,y) 存在，则 y 的位置只有一种可能：  
  //y 是 x 的右儿子，且 y 没有左儿子。从而保证 y 在中序遍历中是 x 的后一个。
  if (Find(y_) != x_ || fa[y_] != x_ || son[y_][0]) return ;
  fa[y_] = son[x_][1] = 0; //断绝父子关系
  Pushup(x_);
}

路径修改和路径查询

Child's play。

void Modify(int x_, int y_, int val_, int type) { //路径修改
  Split(x_, y_); //给路径构成的 Splay 打标记
  if (!type) PushPlus(y_, val_);
  else PushProd(y_, val_);
}
LL Query(int x_, int y_) { //路径查询
  Split(x_, y_); //返回路径构成的 Splay 的信息
  return sum[y_];
}

封装模板

//知识点：LCT
/*
By:Luckyblock
*/
namespace LCT {
  #define f fa[now_]
  #define ls son[now_][0]
  #define rs son[now_][1]
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode], son[kMaxNode][2], val[kMaxNode]; //Splay 的结构信息
  LL siz[kMaxNode], sum[kMaxNode], tagplus[kMaxNode], tagprod[kMaxNode]; //子树大小，子树和，两种标记
  bool tagrev[kMaxNode]; //Splay 的子树反转标记
  void Pushup(int now_) { //维护子树和 和 子树大小
    sum[now_] = (sum[ls] + sum[rs] + val[now_]) % mod;
    siz[now_] = siz[ls] + siz[rs] + 1;
  }
  void PushReverse(int now_) { //子树反转标记，使得 Splay 节点的中序遍历反向。若原 splay 表示一条自顶向下的链，反转相当于将 splay 表示的链的边反向，父子关系互换。
    if (!now_) return;
    std::swap(ls, rs);
    tagrev[now_] ^= 1;
  }
  void PushPlus(int now_, LL val_) {
    if (!now_) return;
    val[now_] = (val[now_] + val_) % mod;
    sum[now_] = (sum[now_] + siz[now_] * val_ % mod) % mod;
    tagplus[now_] = (tagplus[now_] + val_) % mod;
  }
  void PushProd(int now_, LL val_) {
    if (!now_) return;
    val[now_] = val[now_] * val_ % mod;
    sum[now_] = sum[now_] * val_ % mod;
    tagplus[now_] = tagplus[now_] * val_ % mod;
    tagprod[now_] = tagprod[now_] * val_ % mod;
  }
  void Pushdown(int now_) { //注意下放顺序
    LL plus = tagplus[now_], prod = tagprod[now_], rev = tagrev[now_];
    if (prod != 1) PushProd(ls, prod), PushProd(rs, prod);
    if (plus) PushPlus(ls, plus), PushPlus(rs, plus);
    if (rev) PushReverse(ls), PushReverse(rs);
    tagprod[now_] = 1, tagplus[now_] = 0, tagrev[now_] = 0;
  }
  bool IsRoot(int now_) { //判断 now_ 是否为当前 Splay 的根
    return son[f][0] != now_ && son[f][1] != now_;
  }
  bool WhichSon(int now_) {
    return son[f][1] == now_;
  }
  void Rotate(int now_) {
    int fa_ = f, w = WhichSon(now_);
    if (!IsRoot(f)) son[fa[f]][WhichSon(f)] = now_;
    f = fa[f];

    son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];
    fa[son[fa_][w]] = fa_;

    son[now_][w ^ 1] = fa_;
    fa[fa_] = now_;
    Pushup(fa_), Pushup(now_); 
  }
  void Update(int now_) { //将 Splay 路径上的所有标记下放
    if (!IsRoot(now_)) Update(f);
    Pushdown(now_);
  }
  void Splay(int now_) {
    Update(now_);
    for (; !IsRoot(now_); Rotate(now_)) {
      if (!IsRoot(f)) Rotate(WhichSon(f) == WhichSon(now_) ? f : now_);
    }
  }
  void Access(int now_) { //使得树中由根->now 的链成为实链，构造出由它们组成的 Splay，满足 Splay 的中序遍历深度递减的性质。
    //自下向上构建，舍弃父亲的原有右儿子，换成 -> last 的链。
    for (int last_ = 0; now_; last_ = now_, now_ = f) {
      Splay(now_), rs = last_;
      Pushup(now_);
    }
  }
  void MakeRoot(int now_) { //使 now 成为原树的根
    Access(now_); //先使得树中由根->now 的链成为实链，构造出由它们组成的 Splay。
    Splay(now_); //使 now 成为 splay 的根节点
    PushReverse(now_); //将根->now 的链反转，使 now 成为原树的根。原理参考 PushReverse 函数的注释。
  }
  int Find(int now_) { //找到 now_ 所在原树的根
    Access(now_); 
    Splay(now_);
    while (ls) Pushdown(now_), now_ = ls; //使得树中由根->now 的链成为实链，构造出由它们组成的 Splay，再找到 Splay 中序遍历的第一个元素，即为原树的根。
    
    Splay(now_); //为了下一步操作，把根再转回去
    return now_; 
  }
  void Split(int x_, int y_) { //构造由路径 x->y 组成的 Splay
    MakeRoot(x_); //使 x 成为根，构造出根 -> y 的 Splay 即得，Splay 根的子树信息即为路径信息。
    Access(y_);
    Splay(y_);
  }
  void Link(int x_, int y_) { //加边 (x,y)
    MakeRoot(x_); //使 x 成为根，再给根一个父亲
    if (Find(y_) != x_) fa[x_] = y_;
  }
  void Cut(int x_, int y_) { //删边 (x,y)
    MakeRoot(x_); //使 x 成为根
    //Find(y_) != x_ 保证 y 与 x 连通
    //在 Find 函数中 Access(y) 之后，y 所在的 splay 由 x->y 的链构成。又 x 是 splay 的根，y 的中序遍历在 x 后，则若边 (x,y) 存在，则 y 的位置只有一种可能：  
    //y 是 x 的右儿子，且 y 没有左儿子。从而保证 y 在中序遍历中是 x 的后一个。
    if (Find(y_) != x_ || fa[y_] != x_ || son[y_][0]) return ;
    fa[y_] = son[x_][1] = 0; //断绝父子关系
    Pushup(x_);
  }
  void Modify(int x_, int y_, int val_, int type) { //路径修改
    Split(x_, y_); //给路径构成的 Splay 打标记
    if (!type) PushPlus(y_, val_);
    else PushProd(y_, val_);
  }
  LL Query(int x_, int y_) { //路径查询
    Split(x_, y_); //返回路径构成的 Splay 的信息
    return sum[y_];
  }
}

复杂度

上述 Splay 和 Access 操作的复杂度都是均摊 \(O(\log n)\) 的，可得其它所有操作的复杂度都是均摊 \(O(\log n)\) 的。

证明见：杨哲《QTREE 解法的一些研究》

小技巧

一次 Find 操作中进行了 1 次 Access 和两次 Splay，并进行了一次 Splay 上的向下查询操作。这使得此操作复杂度较高。

在某些不带删除的题目中可以直接使用并查集维护树根，避免调用 Find 函数。

在保证加删边合法时（例如本题），就不需要在 Link 和 Cut 操作中判断是否连通了。两个函数可改写为下述简单形式。同时避免了 Find 函数的调用，降低了复杂度。

void Link(int x_, int y_) {
  MakeRoot(x_);
  fa[x_] = y_;
}
void Cut(int x_, int y_) {
  Split(x_, y_); 
  fa[x_] = son[y_][0] = 0; //在 Splay 中 x 和 y 有直接连边，x 在中序遍历中是 y 的前一个，Split 后 Splay 的根是 y，则 x 一定是 y 的左儿子。
  Pushup(y_);
}

例题

我相信有能力学习 LCT 的读者并不需要过多对代码的解释了= =

「SDOI2008」洞穴勘测

维护连通性。

给定 \(n\) 个点，给定 \(m\) 次操作：

断开一条边，保证断开的边存在。

连接一条边，保证操作后是一片森林。

查询两点的连通性。

\(1\le n\le 10^4\)，\(1\le m\le 2\times 10^5\)。
1S，128MB。

板题，又保证操作合法，套板子即可。

P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

维护树链信息。

给定 \(n\) 个点以及每个点的权值，给定 \(m\) 次操作：

询问路径上的点的权值异或和。

单点权值修改。

断开一条边，若边不存在则跳过。

连接一条边，若两点已连通则跳过。

\(1\le n\le 10^5\)，\(1\le m\le 3\times 10^5\)。
2S，128MB。

保证操作后仍是森林，Splay 维护子树节点异或和即可。注意判断操作不合法。可以用如下方法简单实现单点修改：

void Modify(int now_, int val_) {
  Splay(now_); //先转到根，修改后不影响其它子树的 xor 和
  val[now_] = val_;
  Pushup(now_);
}

「HNOI2010」弹飞绵羊

模型的建立。

下述题意是抽象过的，建议先阅读原题面。

给定一长度为 \(n\) 的正整数数列 \(k\)。对于点 \(1\sim n\)，从点 \(i\) 向点 \(i + k_i\) 连有向边，若 \(i + k_i >n\) 不连边。
给定 \(m\) 次操作：

给定点 \(i\)，查询以它为起点的有向路径上点的数量。

给定参数 \(j,k'\)，表示将 \(k_j\) 修改为 \(k'\)。

\(1\le n\le 2\times 10^5\)，\(1\le m\le 10^5\)。
1S，128MB。

考虑建立虚拟节点 \(n + 1\)。对于节点 \(i\)，若满足 \(i + k_i>n\)，则令 \(i\) 连向 \(n +1\)。发现每个节点只会向编号比它大的一个节点连一条边，构成了一个树状结构。
在这棵树上，询问的答案即为 \(n+1\) 到 \(i\) 链的长度 \(- 1\)。修改相当于动态删边加边操作。Splay 维护子树大小即可。总复杂度 \(O(m\log n)\) 级别。

bzoj 4998 星球联盟

加边，维护边双连通分量。

时空限制是在 Mina! 看的 = =

给定一 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，给定 \(q\) 次操作。
每次操作加入一条边，查询加入这条边后这条边的两端点是否在一个边双连通分量中，若在则输出该分量内节点个数。
\(1< n,m,q< 2\times 10^5\)，。
1S，256MB。

无向图边双缩点后一定是一棵树，考虑使用 LCT 维护加边操作。

具体地，使用并查集维护每个点所在的边双（注意不是连通性）。加边时分类讨论。

若两点已经在一个边双中，跳过操作。
两点不连通，直接连边即可。
两点已连通，考虑把两点路径上所有点取出，把它们合并成一个点。新点代表它们所在的边双。

并查集中维护 size。每次加边后考察两点是否在同一个边双内，若在则输出对应祖先的 size。

具体实现上：对于需要合并成一个点的路径，将该路径取出后遍历其中所有点，并在并查集中把它们合并。之后每次需要调用一个 LCT 节点时，都找到该节点在并查集中的祖先，然后调用它的祖先。由于事先 Access(u,v) 了，这样做显然不会破坏 LCT 中原有的各 Splay 的父子关系，可以保证正确性。
考虑复杂度。每个原图中的节点都只会被合并一次，合并一个节点均摊 \(O(1)\)。则总复杂度为~~常数飞天~~的 \(O((m+q)\log n)\) 级别。

//知识点：LCT
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
const int kN = 2e5 + 10;
//=============================================================
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
namespace UF { //Union-Find data structure
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode], siz[kMaxNode];
  int Find(int x_) {
    int y = fa[x_];
    return fa[x_] == x_ ? x_ : fa[x_] = Find(fa[x_]);
  }
  void Union(int x_, int y_) {
    x_ = Find(x_), y_ = Find(y_);
    if (x_ != y_) {
      fa[x_] = y_;
      siz[y_] += siz[x_];
    }
  }
}
namespace LCT {
  #define f fa[now_]
  #define ls son[now_][0]
  #define rs son[now_][1]
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode], son[kMaxNode][2], siz[kMaxNode];
  bool tagrev[kMaxNode];
  void Pushup(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    siz[now_] = siz[ls] + siz[rs] + 1;
  }
  void PushReverse(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return;
    std::swap(ls, rs);
    tagrev[now_] ^= 1;
  }
  void Pushdown(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return ;
    if (tagrev[now_]) PushReverse(ls), PushReverse(rs);
    tagrev[now_] = 0;
  }
  bool IsRoot(int now_) {
    int x = f, y = UF::Find(f);
    return son[UF::Find(f)][0] != now_ && son[UF::Find(f)][1] != now_;
  }
  bool WhichSon(int now_) {
    return son[UF::Find(f)][1] == now_;
  }
  void Rotate(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    int fa_ = UF::Find(f), w = WhichSon(now_);
    if (!IsRoot(fa_)) son[UF::Find(fa[fa_])][WhichSon(fa_)] = now_;
    f = UF::Find(fa[fa_]);

    son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];
    fa[son[fa_][w]] = fa_;

    son[now_][w ^ 1] = fa_;
    fa[fa_] = now_;
    Pushup(fa_), Pushup(now_); 
  }
  void Update(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!IsRoot(now_)) Update(f);
    Pushdown(now_);
  }
  void Splay(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    Update(now_);
    for (; !IsRoot(now_); Rotate(now_)) {
      if (!IsRoot(UF::Find(f))) Rotate(WhichSon(UF::Find(f)) == WhichSon(now_) ? UF::Find(f) : now_);
    }
  }
  void Access(int now_) { 
    now_ = UF::Find(now_);
    for (int last_ = 0; now_; last_ = now_, now_ = UF::Find(f)) {
      Splay(now_), rs = last_;
      Pushup(now_);
    }
  }
  void MakeRoot(int now_) { 
    now_ = UF::Find(now_);
    Access(now_); 
    Splay(now_); 
    PushReverse(now_); 
  }
  int Find(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    Access(now_); 
    Splay(now_);
    while (ls) Pushdown(now_), now_ = ls;
    
    Splay(now_); 
    return now_; 
  }
  void Split(int x_, int y_) { 
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    MakeRoot(x_);
    Access(y_);
    Splay(y_);
  }
  void Delete(int now_, int fa_) { //递归地遍历 Splay，合并原节点
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return;
    UF::Union(now_, fa_);
    Delete(ls, fa_), Delete(rs, fa_);
  }
  bool Link(int x_, int y_) {
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    if (x_ == y_) return true;
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_) {
      fa[x_] = y_;
      return false;
    }
    Delete(son[x_][1], x_); //合并原节点
    son[x_][1] = 0; //x 即合并后的得到的代表边双的节点。将它的儿子置零。
    Pushup(x_);
    return true;
  }
  int Query(int x_, int y_) {
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    Split(x_, y_);
    return siz[y_] - 1;
  }
}
//=============================================================
int main() { 
  int n = read(), m = read(), p = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    UF::fa[i] = i;
    LCT::siz[i] = UF::siz[i] = 1;
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    int u_ = read(), v_ = read();
    LCT::Link(u_, v_);
  }
  for (int i = 1; i <= p; ++ i) {
    int u_ = read(), v_ = read();
    if (LCT::Link(u_, v_)) {
      printf("%d\n", UF::siz[UF::Find(v_)]);
    } else{
      printf("No\n");
    }
  }
  return 0; 
}

「AHOI2005」航线规划

加边，维护边双连通分量。

给定一 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，给定 \(q\) 次操作：

断开一条边，保证断开的边存在。

查询给定两点间所有路径的必经边的数量。

\(1< n< 3\times 10^4\)，\(1< m< 10^5\)，\(0\le q\le 4\times 10^4\)。
1S，128MB。

先离线反向操作，将删边转化为加边。
容易发现查询的答案即原图边双连通分量缩点后指定两点间的边数，同上题使用并查集维护节点所在边双。查询时取出指定路径，答案即路径上的点数 \(-1\)，维护 Splay 子树大小即可。
总复杂度 \(O((m+q)\log n)\) 级别。

上述做法通用性较强。对于此题来说，还有另外一种解法。
同样离线反向操作，先进行边双缩点，在新图上考虑边转点。将代表边的点的权值赋为 1，其它点权值为 0。边权为 1 的实际含义是该边不在一个环中。
若一次加边后会出现环，则将这条路径上所有点的点权都置为 0 即可。查询的答案即指定两点间路径的权值和。
此时树是静态的，甚至可以直接树剖维护，常数要小很多。

LCT 代码

//知识点：LCT
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#define LL long long
#define pr std::pair
#define mp std::make_pair
const int kN = 5e4 + 10;
//=============================================================
int n, m, e_num, u[kN << 1], v[kN << 1];
int q_num, q[kN][3], ans[kN];
std::map <pr <int, int>, bool> del;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
namespace UF { //Union-Find data structure
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode];
  int Find(int x_) {
    int y = fa[x_];
    return fa[x_] == x_ ? x_ : fa[x_] = Find(fa[x_]);
  }
  void Union(int x_, int y_) {
    x_ = Find(x_), y_ = Find(y_);
    if (x_ != y_) fa[x_] = y_;
  }
}
namespace LCT {
  #define f fa[now_]
  #define ls son[now_][0]
  #define rs son[now_][1]
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode], son[kMaxNode][2], siz[kMaxNode];
  bool tagrev[kMaxNode];
  void Pushup(int now_) { //维护 size
    now_ = UF::Find(now_);
    siz[now_] = siz[ls] + siz[rs] + 1;
  }
  void PushReverse(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return;
    std::swap(ls, rs);
    tagrev[now_] ^= 1;
  }
  void Pushdown(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return ;
    if (tagrev[now_]) PushReverse(ls), PushReverse(rs);
    tagrev[now_] = 0;
  }
  bool IsRoot(int now_) {
    int x = f, y = UF::Find(f);
    return son[UF::Find(f)][0] != now_ && son[UF::Find(f)][1] != now_;
  }
  bool WhichSon(int now_) {
    return son[UF::Find(f)][1] == now_;
  }
  void Rotate(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    int fa_ = UF::Find(f), w = WhichSon(now_);
    if (!IsRoot(fa_)) son[UF::Find(fa[fa_])][WhichSon(fa_)] = now_;
    f = UF::Find(fa[fa_]);

    son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];
    fa[son[fa_][w]] = fa_;

    son[now_][w ^ 1] = fa_;
    fa[fa_] = now_;
    Pushup(fa_), Pushup(now_); 
  }
  void Update(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!IsRoot(now_)) Update(f);
    Pushdown(now_);
  }
  void Splay(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    Update(now_);
    for (; !IsRoot(now_); Rotate(now_)) {
      if (!IsRoot(UF::Find(f))) Rotate(WhichSon(UF::Find(f)) == WhichSon(now_) ? UF::Find(f) : now_);
    }
  }
  void Access(int now_) { 
    now_ = UF::Find(now_);
    for (int last_ = 0; now_; last_ = now_, now_ = UF::Find(f)) {
      Splay(now_), rs = last_;
      Pushup(now_);
    }
  }
  void MakeRoot(int now_) { 
    now_ = UF::Find(now_);
    Access(now_); 
    Splay(now_); 
    PushReverse(now_); 
  }
  int Find(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    Access(now_); 
    Splay(now_);
    while (ls) Pushdown(now_), now_ = ls;
    
    Splay(now_); 
    return now_; 
  }
  void Split(int x_, int y_) { 
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    MakeRoot(x_);
    Access(y_);
    Splay(y_);
  }
  void Delete(int now_, int fa_) { //递归地遍历 Splay，合并原节点
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return;
    UF::Union(now_, fa_);
    Delete(ls, fa_), Delete(rs, fa_);
  }
  void Link(int x_, int y_) {
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    if (x_ == y_) return;
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_) {
      fa[x_] = y_;
      return ;
    }
    Delete(son[x_][1], x_); //合并原节点
    son[x_][1] = 0; //x 即合并后的得到的代表边双的节点。将它的儿子置零。
    Pushup(x_);
  }
  int Query(int x_, int y_) {
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    Split(x_, y_);
    return siz[y_] - 1;
  }
}
//=============================================================
signed main() { 
  n = read(), m = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    UF::fa[i] = i;
    LCT::siz[i] = 1;
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) { 
    int u_ = read(), v_ = read();
    u[++ e_num] = u_, v[e_num] = v_;
    if (u_ > v_) std::swap(u[e_num], v[e_num]);
  }
  while(true) {
    int opt = read();
    if (opt == -1) break;
    int u_ = read(), v_ = read();
    if (u_ > v_) std::swap(u_, v_);
    q[++ q_num][0] = opt, q[q_num][1] = u_, q[q_num][2] = v_;
    if (!opt) del[mp(u_, v_)] = true;
  }

  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    int u_ = u[i], v_ = v[i];
    if (del[mp(u_, v_)]) continue;
    LCT::Link(u_, v_);
  }
  for (int i = q_num; i; -- i) { //注意反向
    int opt = q[i][0], u_ = q[i][1], v_ = q[i][2];
    if (!opt) LCT::Link(u_, v_);
    if (opt) ans[i] = LCT::Query(u_, v_);
  }
  for (int i = 1; i <= q_num; ++ i) {
    if (q[i][0]) printf("%d\n", ans[i]);
  }
  return 0; 
}

bzoj 2959 长跑

加边，维护边双连通分量。

给定一 \(n\) 个点的无向图，点有点权，初始图中没有边。给定 \(m\) 次操作：

连接一条无向边。

单点权值修改。

给定节点 \(u,v\)，要求把所有边定向，最大化从 \(u\) 到 \(v\) 的所有路径中，经过的点权值和的最大值（经过多次权值也只计算一次），输出该最大值。

\(n\le 1.5 \times 10^5\)，\(1\le m\le 5n\)，点权非负。
1S，256MB。

点权非负，显然应该尽量增加经过的点数。
考虑这个查询操作。对于一个边双连通分量，显然可通过构造使得可以在边双里绕圈圈，从而令每个节点都可以被经过并获得其权值，且可以从任意一个节点离开边双。

考虑对原图进行边双缩点，新点的权值为内部所有节点的权值和，查询的答案即两点路径上所有节点的权值和，使用 LCT 维护加边、点权修改即可。
总复杂度 \(O(m\log n)\)。

//知识点：LCT
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
const int kN = 2e5 + 10;
//=============================================================
int origin[kN];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
namespace UF { //Union-Find data structure
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode];
  int Find(int x_) {
    int y = fa[x_];
    return fa[x_] == x_ ? x_ : fa[x_] = Find(fa[x_]);
  }
  void Union(int x_, int y_) {
    x_ = Find(x_), y_ = Find(y_);
    if (x_ != y_) fa[x_] = y_;
  }
}
namespace LCT {
  #define f fa[now_]
  #define ls son[now_][0]
  #define rs son[now_][1]
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode], son[kMaxNode][2], val[kMaxNode];
  LL sum[kMaxNode];
  bool tagrev[kMaxNode];
  void Pushup(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    sum[now_] = sum[ls] + sum[rs] + val[now_];
  }
  void PushReverse(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return;
    std::swap(ls, rs);
    tagrev[now_] ^= 1;
  }
  void Pushdown(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return ;
    if (tagrev[now_]) PushReverse(ls), PushReverse(rs);
    tagrev[now_] = 0;
  }
  bool IsRoot(int now_) {
    return son[UF::Find(f)][0] != now_ && son[UF::Find(f)][1] != now_;
  }
  bool WhichSon(int now_) {
    return son[UF::Find(f)][1] == now_;
  }
  void Rotate(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    int fa_ = UF::Find(f), w = WhichSon(now_);
    if (!IsRoot(fa_)) son[UF::Find(fa[fa_])][WhichSon(fa_)] = now_;
    f = UF::Find(fa[fa_]);

    son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];
    fa[son[fa_][w]] = fa_;

    son[now_][w ^ 1] = fa_;
    fa[fa_] = now_;
    Pushup(fa_), Pushup(now_); 
  }
  void Update(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!IsRoot(now_)) Update(f);
    Pushdown(now_);
  }
  void Splay(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    Update(now_);
    for (; !IsRoot(now_); Rotate(now_)) {
      if (!IsRoot(UF::Find(f))) Rotate(WhichSon(UF::Find(f)) == WhichSon(now_) ? UF::Find(f) : now_);
    }
  }
  void Access(int now_) { 
    now_ = UF::Find(now_);
    for (int last_ = 0; now_; last_ = now_, now_ = UF::Find(f)) {
      Splay(now_), rs = last_;
      Pushup(now_);
    }
  }
  void MakeRoot(int now_) { 
    now_ = UF::Find(now_);
    Access(now_); 
    Splay(now_); 
    PushReverse(now_); 
  }
  int Find(int now_) {
    now_ = UF::Find(now_);
    Access(now_); 
    Splay(now_);
    while (ls) Pushdown(now_), now_ = ls;
    
    Splay(now_);
    return now_; 
  }
  void Split(int x_, int y_) { 
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    MakeRoot(x_);
    Access(y_);
    Splay(y_);
  }
  void Delete(int now_, int fa_) { //递归地遍历 Splay，合并原节点
    now_ = UF::Find(now_);
    if (!now_) return;
    UF::fa[now_] = fa_;
    val[fa_] += val[now_];
    Delete(ls, fa_), Delete(rs, fa_);
  }
  void Link(int x_, int y_) {
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    if (x_ == y_) return;
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_) {
      fa[x_] = y_;
      return;
    }
    Delete(son[x_][1], x_); //合并原节点
    son[x_][1] = 0; //x 即合并后的得到的代表边双的节点。将它的儿子置零。
    Pushup(x_);
  }
  void Modify(int x_, int val_) { //单点修改
    Splay(UF::Find(x_));
    val[UF::Find(x_)] -= origin[x_];
    origin[x_] = val_;
    val[UF::Find(x_)] += origin[x_];
    Pushup(UF::Find(x_));
  }
  LL Query(int x_, int y_) { //查询路径权值和
    x_ = UF::Find(x_), y_ = UF::Find(y_);
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_) return -1; //不连通
    Split(x_, y_);
    return sum[y_];
  }
}
//=============================================================
int main() { 
  int n = read(), m = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    UF::fa[i] = i;
    origin[i] = LCT::val[i] = LCT::sum[i] = read();
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    int opt = read(), x = read(), y = read();
    if (opt == 1) LCT::Link(x, y);
    if (opt == 2) LCT::Modify(x, y);
    if (opt == 3) printf("%lld\n", LCT::Query(x, y));
  }
  return 0; 
}

P4234 最小差值生成树

LCT 维护生成树。

给定一 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，求边权最大值与最小值的差值最小的生成树，输出最小的差值。图可能存在自环。
\(1\le n\le 5\times 10^4\)，\(1\le m\le 2\times 10^5\)，\(1\le w\le 10^4\)。
3S，256MB。

考虑按照权值升序枚举边，并加入生成树中，以固定边权值最大的边。生成树中权值最小的边的权值应尽可能小，考虑使用 LCT 动态维护生成树中最小的边。
若加入一条边 \((u,v)\) 后图上会产生环，为保证树的形态，则需删掉原树中路径 \((u,v)\) 中任意一条边。显然应贪心地删去权值最小的边，LCT 维护最小边权即可。只要加入新边后构成生成树就统计贡献。

由于树的形态不定，边权并不好直接维护，考虑边转点，对每条边都新建一个虚拟节点并储存边权。
总复杂度 \(O(m\log n)\) 级别。

//知识点：LCT
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#define LL long long
const int kN = 5e5 + 10;
const int kInf = 1e9 + 2077;
//=============================================================
struct Edge {
  int u, v, w;
} e[kN];
int ans = kInf;
std::multiset <int> edge;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
bool CMP(Edge fir_, Edge sec_) {
  return fir_.w < sec_.w;
}
namespace LCT {
  #define f fa[now_]
  #define ls son[now_][0]
  #define rs son[now_][1]
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode], son[kMaxNode][2], val[kMaxNode];
  int minval[kMaxNode], node[kMaxNode];
  bool tagrev[kMaxNode];
  void Pushup(int now_) {
    minval[now_] = val[now_], node[now_] = now_;
    if (ls && minval[ls] < minval[now_]) {
      minval[now_] = minval[ls], node[now_] = node[ls];
    }
    if (rs && minval[rs] < minval[now_]) {
      minval[now_] = minval[rs], node[now_] = node[rs];
    }
  }
  void PushReverse(int now_) { 
    if (!now_) return;
    std::swap(ls, rs);
    tagrev[now_] ^= 1;
  }
  void Pushdown(int now_) {
    if (tagrev[now_]) PushReverse(ls), PushReverse(rs);
    tagrev[now_] = 0;
  }
  bool IsRoot(int now_) { 
    return son[f][0] != now_ && son[f][1] != now_;
  }
  bool WhichSon(int now_) {
    return son[f][1] == now_;
  }
  void Rotate(int now_) {
    int fa_ = f, w = WhichSon(now_);
    if (!IsRoot(f)) son[fa[f]][WhichSon(f)] = now_;
    f = fa[f];

    son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];
    fa[son[fa_][w]] = fa_;

    son[now_][w ^ 1] = fa_;
    fa[fa_] = now_;
    Pushup(fa_), Pushup(now_); 
  }
  void Update(int now_) { 
    if (!IsRoot(now_)) Update(f);
    Pushdown(now_);
  }
  void Splay(int now_) {
    Update(now_);
    for (; !IsRoot(now_); Rotate(now_)) {
      if (!IsRoot(f)) Rotate(WhichSon(f) == WhichSon(now_) ? f : now_);
    }
  }
  void Access(int now_) {
    for (int last_ = 0; now_; last_ = now_, now_ = f) {
      Splay(now_), rs = last_;
      Pushup(now_);
    }
  }
  void MakeRoot(int now_) {
    Access(now_);
    Splay(now_);
    PushReverse(now_);
  }
  int Find(int now_) {
    Access(now_); 
    Splay(now_);
    while (ls) Pushdown(now_), now_ = ls;
    
    Splay(now_);
    return now_; 
  }
  void Split(int x_, int y_) {
    MakeRoot(x_);
    Access(y_);
    Splay(y_);
  }
  void Link(int x_, int y_) {
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_) fa[x_] = y_;
  }
  void Cut(int x_, int y_) {
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_ || fa[y_] != x_ || son[y_][0]) return ;
    fa[y_] = son[x_][1] = 0;
    Pushup(x_);
  }
}
//=============================================================
int main() { 
  int n = read(), m = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    LCT::val[i] = LCT::minval[i] = kInf;
    LCT::node[i] = i;
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) e[i] = (Edge) {read(), read(), read()};
  std::sort(e + 1, e + m + 1, CMP);
  for (int i = 1, tot = 0; i <= m; ++ i) {
    int u_ = e[i].u, v_ = e[i].v, w_ = e[i].w;
    if (u_ == v_) continue;
    LCT::val[n + i] = LCT::minval[n + i] = w_;
    LCT::node[n + i] = n + i;
    if (LCT::Find(u_) != LCT::Find(v_)) { //加边后没有环
      ++ tot;
    } else { //加边后产生环
      LCT::Split(u_, v_);
      int minval = LCT::minval[v_], node = LCT::node[v_]; //找到最小边
      edge.erase(edge.find(minval)); //削除
      LCT::Cut(e[node - n].u, node), LCT::Cut(e[node - n].v, node);
    }
    LCT::Link(u_, n + i), LCT::Link(v_, n + i); //连边
    if (tot == n - 1) { //同级生成树的贡献
      if (!edge.size()) Chkmin(ans, e[i].w);
      else Chkmin(ans, e[i].w - (*edge.begin()));
    }
    edge.insert(w_);
  }
  printf("%d\n", ans);
  return 0; 
}

「NOI2014」魔法森林

LCT 维护生成树

给定一 \(n\) 个节点 \(m\) 条边的无向图，每条边有两个属性 \((a_i, b_i)\)。
对于一棵生成树 \(T\)，最小化并输出：

\[\left(\max_{e_i\in T} a_i\right) + \left(\max_{e_i\in T} b_i\right) \]
\(2\le n\le 5\times 10^4\)，\(0\le m\le 10^5\)，\(1\le a_i,b_i\le 5\times 10^4\)。
1S，256MB。

二元最小生成树问题。

考虑把所有边按 \(a_i\) 升序排序，按顺序枚举加入生成树中，固定树中各边 \(a_i\) 的最大值。同上题的套路，先边转点，若加入新边后产生环，删去原路径上 \(b\) 最大的边以最小化 \(b\)。只要加入新边后构成生成树就 Split(1,n) 来统计贡献。

LCT 分别维护两个属性的最大值即可。总复杂度 \(O(m\log n)\)。
加入的边不一定影响 \(1\rightarrow n\)，为什么这样可以保证正确性？可以发现上面实际上就是在模拟 Kruskal 构建最小瓶颈树的过程，结合 Kruskal 的性质可知这样是正确的。

//知识点：LCT
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
const int kN = 5e5 + 10;
const int kInf = 2e9 + 2077;
//=============================================================
struct Edge {
  int u, v, w1, w2;
} e[kN];
int n, m, ans = kInf, fa[kN];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
bool CMP(Edge fir_, Edge sec_) {
  return fir_.w1 < sec_.w1;
}
int Find(int x_) {
  return fa[x_] == x_ ? x_ : fa[x_] = Find(fa[x_]);
}
void Union(int x_, int y_) {
  x_ = Find(x_), y_ = Find(y_);
  if (x_ != y_) fa[x_] = y_;
}
namespace LCT {
  #define f fa[now_]
  #define ls son[now_][0]
  #define rs son[now_][1]
  const int kMaxNode = kN;
  int fa[kMaxNode], son[kMaxNode][2], vala[kMaxNode], valb[kMaxNode];
  int mxa[kMaxNode], posa[kMaxNode], mxb[kMaxNode], posb[kMaxNode];
  bool tagrev[kMaxNode];
  void Init(int now_, int vala_, int valb_) {
    vala[now_] = mxa[now_] = vala_;
    valb[now_] = mxb[now_] = valb_;
    posa[now_] = posb[now_] = now_;
  }
  void Pushup(int now_) {
    mxa[now_] = vala[now_], mxb[now_] = valb[now_];
    posa[now_] = posb[now_] = now_;
    if (ls && mxa[ls] > mxa[now_]) {
      mxa[now_] = mxa[ls], posa[now_] = posa[ls];
    }
    if (rs && mxa[rs] > mxa[now_]) {
      mxa[now_] = mxa[rs], posa[now_] = posa[rs];
    }
    if (ls && mxb[ls] > mxb[now_]) {
      mxb[now_] = mxb[ls], posb[now_] = posb[ls];
    }
    if (rs && mxb[rs] > mxb[now_]) {
      mxb[now_] = mxb[rs], posb[now_] = posb[rs];
    }
  }
  void PushReverse(int now_) { 
    if (!now_) return;
    std::swap(ls, rs);
    tagrev[now_] ^= 1;
  }
  void Pushdown(int now_) {
    if (tagrev[now_]) PushReverse(ls), PushReverse(rs);
    tagrev[now_] = 0;
  }
  bool IsRoot(int now_) { 
    return son[f][0] != now_ && son[f][1] != now_;
  }
  bool WhichSon(int now_) {
    return son[f][1] == now_;
  }
  void Rotate(int now_) {
    int fa_ = f, w = WhichSon(now_);
    if (!IsRoot(f)) son[fa[f]][WhichSon(f)] = now_;
    f = fa[f];

    son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];
    fa[son[fa_][w]] = fa_;

    son[now_][w ^ 1] = fa_;
    fa[fa_] = now_;
    Pushup(fa_), Pushup(now_); 
  }
  void Update(int now_) { 
    if (!IsRoot(now_)) Update(f);
    Pushdown(now_);
  }
  void Splay(int now_) {
    Update(now_);
    for (; !IsRoot(now_); Rotate(now_)) {
      if (!IsRoot(f)) Rotate(WhichSon(f) == WhichSon(now_) ? f : now_);
    }
  }
  void Access(int now_) {
    for (int last_ = 0; now_; last_ = now_, now_ = f) {
      Splay(now_), rs = last_;
      Pushup(now_);
    }
  }
  void MakeRoot(int now_) {
    Access(now_);
    Splay(now_);
    PushReverse(now_);
  }
  int Find(int now_) {
    Access(now_); 
    Splay(now_);
    while (ls) Pushdown(now_), now_ = ls;
    
    Splay(now_);
    return now_; 
  }
  void Split(int x_, int y_) {
    MakeRoot(x_);
    Access(y_);
    Splay(y_);
  }
  void Link(int x_, int y_) {
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_) fa[x_] = y_;
  }
  void Cut(int x_, int y_) {
    MakeRoot(x_);
    if (Find(y_) != x_ || fa[y_] != x_ || son[y_][0]) return ;
    fa[y_] = son[x_][1] = 0;
    Pushup(x_);
  }
  int Query(int x_, int y_) {
    Split(x_, y_);
    return mxa[y_] + mxb[y_];
  }
}
//=============================================================
int main() {
  n = read(), m = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) fa[i] = i;
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    e[i].u = read(), e[i].v = read();
    e[i].w1 = read(), e[i].w2 = read();
  }
  std :: sort(e + 1, e + m + 1, CMP);

  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    if (e[i].u == e[i].v) continue;
    int u_ = e[i].u, v_ = e[i].v, w1_ = e[i].w1, w2_ = e[i].w2;
    LCT::Init(i + n, w1_, w2_);
    
    if (Find(u_) != Find(v_)) {
      Union(u_, v_);
      LCT::Link(u_, i + n), LCT::Link(v_, i + n);
    } else {
      LCT::Split(u_, v_);
      int mxb = LCT::mxb[v_], posb = LCT::posb[v_];
      if (mxb <= w2_) continue;
      LCT::Cut(e[posb - n].u, posb), LCT::Cut(e[posb - n].v, posb);
      LCT::Link(i + n, u_), LCT::Link(i + n, v_);
    }
    if (Find(1) == Find(n)) Chkmin(ans, LCT::Query(1, n));
  }
  printf("%d\n", ans == kInf ? -1 : ans);
	return 0;
}
//*我写 kruscal 骗分，好吗?
//评测机：*不！
//5pts

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鸣谢

Link Cut Tree - OI Wiki
杨哲《QTREE 解法的一些研究》
Link-Cut-Tree - PoPoQQQ
Link-Cut Tree(LCT)&TopTree讲解 - The_Virtuoso

posted @ 2021-01-22 21:02 Luckyblock 阅读(185) 评论(4) 编辑收藏举报

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Luckyblock

身与华落，心将香飞

「笔记」Link Cut Tree

写在前面

动态树问题

定义

实链剖分

Link-Cut Tree

小结

分步实现

定义及声明

Splay

Access 构造实链

MakeRoot 换根

Find 找到指定节点所在原树的根

Split 构造由路径组成的 Splay

Link 连边

Cut 删边

路径修改和路径查询

封装模板

复杂度

小技巧

例题

「SDOI2008」洞穴勘测

P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

「HNOI2010」弹飞绵羊

bzoj 4998 星球联盟

「AHOI2005」航线规划

bzoj 2959 长跑

P4234 最小差值生成树

「NOI2014」魔法森林

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公告

身与华落，心将香飞

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动态树问题

定义

实链剖分

Link-Cut Tree

小结

分步实现

定义及声明

Splay

Access 构造实链

MakeRoot 换根

Find 找到指定节点所在原树的根

Split 构造由路径组成的 Splay

Link 连边

Cut 删边

路径修改 和 路径查询

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例题

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路径修改和路径查询