「SDOI2014」数数

知识点：ACAM，数位 DP

原题面：Luogu

简述

给定一个整数 \(n\)，一大小为 \(m\) 的数字串集合 \(s\)。
求不以 \(s\) 中任意一个数字串作为子串的，不大于 \(n\) 的数字的个数。
\(1\le n\le 10^{1201}\)，\(1\le m\le 100\)，\(1\le \sum |s_i|\le 1500\)。\(n\) 没有前导零，\(s_i\) 可能存在前导零。
1S，128MB。

分析

题目要求不以 \(s\) 中任意一个数字串作为子串，想到这题：「JSOI2007」文本生成器。首先套路地对给定集合的串构建 ACAM，并在 ACAM 上标记所有包含集合内的子串的状态。
之后考虑在 ACAM 上模拟串匹配的过程做数位 DP。发现前缀所在状态储存了前缀的所有信息，可以将其作为 dfs 的参数。
设 Dfs(int now_, int pos_, bool zero_, bool lim_) { 表示前缀匹配到的 ACAM 的状态为 \(\operatorname{pos}\) 时，合法的数字的数量。转移时沿 ACAM 上的转移函数转移，避免转移到被标记的状态。
存在 \(\operatorname{trans}(0, 0) = 0\)，这样直接 dfs 也能顺便处理不同长度的数字串。
总复杂度 \(O(\log_{10}(n)\sum |s_i|)\) 级别。

代码

//知识点：ACAM，数位 DP
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define LL long long
const int kN = 1500 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
//=============================================================
int n, m, ans;
char num[kN], s[kN];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
namespace ACAM {
  const int kSigma = 10;
  int node_num, tr[kN][kSigma], last[kN], fail[kN];
  int f[kN][kN];
  bool tag[kN];
  void Insert(char *s_) {
    int u_ = 0, lth = strlen(s_ + 1);
    for (int i = 1; i <= lth; ++ i) {
      if (! tr[u_][s_[i] - '0']) tr[u_][s_[i] - '0'] = ++ node_num;
      u_ = tr[u_][s_[i] - '0'];
      last[u_] = s_[i] - '0';
    }
    tag[u_] = true;
  }
  void Build() {
    std:: queue <int> q;
    for (int i = 0; i < kSigma; ++ i) {
      if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
    }
    while (!q.empty()) {
      int u_ = q.front(); q.pop();
      tag[u_] |= tag[fail[u_]];
      for (int i = 0; i < kSigma; ++ i) {
        int v_ = tr[u_][i];
        if (v_) {
          fail[v_] = tr[fail[u_]][i];
          q.push(v_);
        } else {
          tr[u_][i] = tr[fail[u_]][i];
        }
      }
    }
  }
  int Dfs(int now_, int pos_, bool zero_, bool lim_) {
    if (now_ > n) return 1;
    if (!zero_ && !lim_ && f[now_][pos_] != -1) return f[now_][pos_];
    int ret = 0;
    for (int i = 0, up = lim_ ? num[now_] - '0': 9; i <= up; ++ i) {
      int v_ = tr[pos_][i];
      if (tag[v_]) continue;
      if (zero_ && !i) ret += Dfs(now_ + 1, 0, true, lim_ && i == num[now_] - '0');
      else ret += Dfs(now_ + 1, v_, false, lim_ && i == num[now_] - '0');
      ret %= mod;
    }
    if (!zero_ && !lim_) f[now_][pos_] = ret;
    return ret;
  }
  int DP() {
    memset(f, -1, sizeof (f));
    return Dfs(1, 0, true, true);
  }
}
//=============================================================
int main() {
  scanf("%s", num + 1);
  n = strlen(num + 1);
  m = read();
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    scanf("%s", s + 1);
    ACAM::Insert(s);
  }
  ACAM::Build();
  printf("%d\n", ACAM::DP());
  return 0; 
}