Codeforces Round #675

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写在前面

Codeforces Round #675 (Div. 2)

比赛地址：https://codeforces.com/contest/1422。

T2 写平均数被卡了。
这场的 C D 挺优秀，部分分也很好出，就当下一场 TouHouProblem 的候选题了。

A

Link

\(t\) 组数据，每次给定正整数 \(a,b,c\)，求一个正整数 \(d\)，满足存在一个四边形的四条边长分别为 \(a,b,c,d\)。
\(1\le t\le 10^3\)，\(1\le a,b,c\le 10^9\)。
1S，256MB，SPJ。

输出 \(a+b+c-1\)。

B

Link

\(t\) 组数据，每次给定一 \(n\times m\) 的矩阵 \(a\)。
每次操作可以使任意位置 +1/-1，求至少进行多少次操作，使得矩阵的每一行，每一列都是回文的。
\(1\le t\le 10\)，\(1\le n,m\le 100\)，\(0\le a_{i,j}\le 10^9\)。
1S，256MB。

对于最后的矩阵，显然有：

\[a_{x,y} = a_{x,m-y+1}=a_{n-x+1,y}=a_{n-x+1,m-y+1} \]

把矩阵元素 4 个一组拿出来看，显然这 4 个元素应调整为它们的中位数，平均数的话可能由于下取整出错。
注意特判奇数行/列的情况。

//知识点：瞎搞
/*
By:Luckyblock
*/
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
const int kN = 100 + 10;
//=============================================================
int n, m, a[kN][kN], tmp[5];
LL ans;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Solve(int x_, int y_) {
  int cnt = 2 + 2 * (x_ != y_);
  for (int i = 1, j = m; i <= j; ++ i, -- j) {
    if (i == j) {
      if (x_ == y_) return ;
      cnt = 2;
      tmp[1] = a[x_][i];
      tmp[2] = a[y_][i];
    } else {
      tmp[1] = a[x_][i];
      tmp[2] = a[x_][j];
      tmp[3] = a[y_][i];
      tmp[4] = a[y_][j];
    }
    std::sort(tmp + 1, tmp + cnt + 1);
    for (int k = 1; k <= cnt; ++ k) {
      ans += 1ll * abs(tmp[k] - tmp[cnt / 2]);
    }
  }
}
//=============================================================
int main() {
  int t = read();
  while (t --) {
    n = read(), m = read();
    ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
      for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
        a[i][j] = read();
      }
    }
    for (int i = 1, j = n; i <= j; ++ i, -- j) {
      Solve(i, j);
    }
    printf("%lld\n", ans);
  }
  return 0;
}
/*
1
3 3 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
*/

C

Link

给定一长度为 \(n\) 的只由 \(0\sim 9\) 构成的字符串，求删除任意非空子串后得到的十进制数的和。
\(1\le n\le 10^5\)。

定义 \(f(l,r)\) 表示子串 \([l,r]\) 组成的十进制数。
考虑枚举删除的子串的最后一位 \(x\)，得到的十进制数的和为：

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{x-1}{\left\{ 10^{n-x}\times f(1,i) +f(x+1,n)\right\}}\\ =& (x-1)\times f(x+1,n) + 10^{n-x}\times \sum_{i=1}^{x-1}{f(1,i)}\\ \end{aligned}\]

预处理出后缀表示的十进制数，枚举 \(x\) 的时候维护出前缀十进制数的和即可。
预处理 \(10^?\) 后时间复杂度 \(O(n)\)。

//知识点：瞎搞
/*
By:Luckyblock
*/
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
const int kN = 1e5 + 10;
const LL mod = 1e9 + 7;
//=============================================================
int n;
char s[kN];
LL ans, sum, pow10[kN], suf[kN];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
//=============================================================
int main() {
  scanf("%s", s + 1);
  n = strlen(s + 1);
  pow10[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    pow10[i] = pow10[i - 1] * 10ll % mod;;
  }
  for (int i = n; i >= 1; -- i) {
    suf[i] = suf[i + 1];
    suf[i] += (s[i] - '0') * pow10[n - i] % mod;
    suf[i] %= mod;
  }
  LL val = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    ans += sum * pow10[n - i] % mod + (i - 1) * suf[i] % mod;
    ans %= mod;
    val = (10ll * val % mod + s[i] - '0') % mod;
    sum = (sum + val) % mod;
  }
  printf("%lld\n", ans);
  return 0;
}

D

Link

给定一 \(n\times n\) 的网格，图中有 \(m\) 个给定的关键点。
给定人的起点终点，每次可以向上下左右任意方向移动一格。
特别地，当人与一个关键点横坐标相同或纵坐标相同时，可以瞬移到关键点，不花费次数。
求从起点到终点的最小移动次数。
\(1\le n\le 10^9\)，\(1\le m\le 10^5\)。

算法一

有个显然的暴力，每个点向上下左右的点连权值为 1 的双向边。每个关键点向同行同列的点连权值为 1 的双向边。然后跑 Dijkstra。
点数边数是 \(O(n^2)\) 级别的，时间复杂度 \(O(n^2\log (n^2))\) 级别，太菜了。

算法二

考虑从起点到终点的最短路径。
若不经过任何一个关键点，最短路即为两点曼哈顿距离，可以直接算出。
否则可以把最短路看成：起点 \(\rightarrow\) 关键点 \(\rightarrow\) 终点。
于是将关键点作为中继点，改变连边方式：

  • 起点向关键点连边，权值为 \(\min(|sx-x|, |sy-y|)\)。
  • 关键点与关键点之间连 双向 边，权值为 \(\min(|x_1-x_2|, |y_1-y_2|)\)。
  • 关键点向终点连边，权值为曼哈顿距离。

再跑 Dijkstra，点数边数变为 \(O(m^2)\) 级别，时间复杂度 \(O(m^2 \log (m^2))\) 级别，还是菜。

算法三

为表达方便，以下钦定两关键点间的距离为 \(\min(|x_1-x_2|, |y_1-y_2|)\)。

考虑三个关键点之间的连边，如果出现下图情况：

显然 \(A\rightarrow C\) 的距离不小于 \(A\rightarrow B\) 与 \(B\rightarrow C\) 的距离之和。
因此可以不连 \(A\rightarrow C\) 的边，不会影响 \(A\rightarrow C\) 的最短路，可以删除这条边。

再考虑更一般的情况，如果有下图：

\(A\rightarrow C\) 的距离仍然不小于 \(A\rightarrow B\) 与 \(B\rightarrow C\) 的距离之和。
因此可以不连 \(A\rightarrow C\) 的边，不会影响 \(A\rightarrow C\) 的最短路。
但注意到 \(A\rightarrow C\) 的边会对 \(A\rightarrow B\) 的最短路作出贡献，这条边不能删除。

于是得到一个对算法二的优化：
先把关键点按 \(x\) 坐标排序，在排序后相邻两个点连 双向边。再把关键点按 \(y\) 坐标排序，在排序后相邻两点连 双向边。
跑出来的最短路与之前的相等，但点数边数仅为 \(O(m)\) 级别，时间复杂度 \(O(m\log m)\) 级别，可以通过。

注意空间大小。

//知识点：建图，最短路 
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define pr std::pair
#define mp std::make_pair 
#define LL long long
const int kM = 1e5 + 10;
const int kE = 6e5 + 10;
//=============================================================
struct Node {
  int x, y, id;
} a[kM];
int n, m, sx, sy, tx, ty;
int e_num, head[kM], v[kE], w[kE], ne[kE];
LL dis[kM];
bool vis[kM];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) {
    w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  }
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir_, int sec_) {
  if (sec_ > fir_) fir_ = sec_;
}
void Chkmin(int &fir_, int sec_) {
  if (sec_ < fir_) fir_ = sec_;
}
bool CMPx(Node fir_, Node sec_) {
  return fir_.x < sec_.x;
}
bool CMPy(Node fir_, Node sec_) {
  return fir_.y < sec_.y;
}
void AddEdge(int u_, int v_, int w_) {
  v[++ e_num] = v_;
  w[e_num] = w_;
  ne[e_num] = head[u_];
  head[u_] = e_num;
}
void Dijkstra(int s_) {
  std::priority_queue <pr <LL, int> > q;
  memset(dis, 63, sizeof (dis));
  memset(vis, 0, sizeof (vis));
  dis[s_] = 0;
  q.push(mp(0, s_));
  
  while (! q.empty()) {
    int u_ = q.top().second;
    q.pop();
    if (vis[u_]) continue ;
    vis[u_] = true;
    for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
      int v_ = v[i], w_ = w[i];
      if (dis[u_] + w_ < dis[v_]) {
        dis[v_] = dis[u_] + w_;
        q.push(mp(-dis[v_], v_));
      }
    }
  }
}
//=============================================================
int main() {
  n = read(), m = read();
  sx = read(), sy = read();
  tx = read(), ty = read();
  AddEdge(0, m + 1, abs(tx - sx) + abs(ty - sy));
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    int x = read(), y = read();
    a[i] = (Node) {x, y, i};
    AddEdge(0, i, std::min(abs(sx - x), abs(sy - y)));
    AddEdge(i, m + 1, abs(tx - x) + abs(ty - y));
  }
  std::sort(a + 1, a + m + 1, CMPx);
  for (int i = 2; i <= m; ++ i) {
    LL val = std::min(abs(a[i].x - a[i - 1].x), abs(a[i].y - a[i - 1].y));
    AddEdge(a[i - 1].id, a[i].id, val);
    AddEdge(a[i].id, a[i - 1].id, val);
  }
  std::sort(a + 1, a + m + 1, CMPy);
  for (int i = 2; i <= m; ++ i) {
    LL val = std::min(abs(a[i].x - a[i - 1].x), abs(a[i].y - a[i - 1].y));
    AddEdge(a[i - 1].id, a[i].id, val);
    AddEdge(a[i].id, a[i - 1].id, val);
  }
  Dijkstra(0);
  printf("%lld\n", dis[m + 1]);
  return 0;
}

E

Link

给定一只由小写字母组成的字符串 \(s\)，可以先删除任意个 两相邻相同字符，再把剩下的部分拼接起来。
对于 \(s\) 的每个后缀，求进行上述操作后得到的字典序最小的字符串。
\(1\le |s|\le 10^5\)。

发现是先删除再拼接，满足无后效性。考虑倒序枚举字符串 DP。
设 \(f_i\) 表示后缀 \([i,|s|]\) 操作后得到的字典序最小的字符串。
初始化 \(f_{|s|} = s_{|s|}\)。
转移时考虑当前字符能否与上个字符相等，分类讨论：

  • 若 \(s_i \not= s_{i+1}\)，则 \(f_{i} = f_{i+1}\)。
  • 若 \(s_{i}=s_{i+1}\)，且 \(s_i < f_{i+2,0}\)，则接上该字符后字典序会变小，则 \(f_{i} = s_{i} + s_{i+1} + f_{i+2}\)。
  • 若 \(s_{i}=s_{i+1}\)，且 \(s_{i}=f_{i+2,0}\)，出现了连续相等的情况。此时需要比较 \(s_i\) 与 \(f_{i+2}\) 从头数第 2 种字符 与 第一种字符（即 \(s_i\)）的大小关系。
    若第二种字符 \(>s_i\)，显然应该接上，则 \(f_{i} = s_{i} + s_{i+1} + f_{i+2}\)。
    否则应该删去，有 \(f_{i} = f_{i + 2}\)。

实现时用个结构体存一下 \(f\) 的前后缀，便于输出。
复杂度 \(O(n)\)。

//知识点：贪心，DP
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#define LL long long
const int kN = 1e5 + 10;
//=============================================================
std::string s;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void Chkmin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
struct Suffix {
  std::string pre, suf;
  int ans, cmp;
  Suffix() {
    pre = suf = "";
    cmp = false;
  }
  void Insert(char ch_) {
    ++ ans;
    if (pre.size() && ch_ != pre[0]) cmp = (ch_ < pre[0]);
    if (suf.size() < 2) suf = ch_ + suf;
    pre = ch_ + pre;
    while (pre.size() > 10) pre.pop_back();
  }
} f[kN];
//=============================================================
int main() {
  std::cin >> s;
  int n = s.length() - 1;
  f[n].Insert(s[n]);
  for (int i = n - 1; i >= 0; -- i) {
    if (s[i] != s[i + 1]) {
      f[i] = f[i + 1];
      f[i].Insert(s[i]);
      continue ;
    }
    f[i] = f[i + 2];
    if (f[i].ans) {
      if (s[i] > f[i].pre[0]) continue ;
      if (s[i] == f[i].pre[0] && !f[i].cmp) continue ;
      f[i].Insert(s[i]), f[i].Insert(s[i]);
    }
  }
  for (int i = 0; i <= n; ++ i) {
    printf("%d ", f[i].ans);
    if (f[i].ans <= 10) {
      std::cout << f[i].pre << "\n";
    } else {
      std::cout << f[i].pre.substr(0, 5) << "..." << f[i].suf << "\n";
    }
  }
  return 0;
}

F

Link

给定一长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，有 \(q\) 次询问。
每次询问给定区间 \([l,r]\)，求 \(\operatorname{lcm}(a_l, \cdots,a_{r}) \bmod 10^9 + 7\)。
强制在线。
\(1\le n,q\le 10^5\)，\(1\le a_i\le 2\times 10^5\)。

算法一

根据小学奥数，有：

\[\large \operatorname{lcm}(a_l, \cdots,a_{r}) = \frac{\prod\limits_{i=l}^{r} a_i}{\gcd(a_l,\cdots,a_r)} \]

从 246. 区间最大公约数 - AcWing 学到区间 \(\gcd\) 可以根据辗转相减简单维护，再维护区间乘积即可。
但在实现时，发现取模会影响区间的合并，因此不能在运算过程中取模，于是炸 LL 了，期望得分 0pts。

算法二

首先对 \(a\) 质因数分解，设 \(a_i\) 分解后为 \(\prod\limits_j p_j^{c_{i,j}}\)

根据小学奥数，有：

\[\large \operatorname{lcm}(a_l, \cdots,a_{r}) = \prod\limits_j p_j^{\max\limits_{l\le i\le r}(c_{i,j})} \]

如果不强制在线，用莫队维护下各质因子出现次数即可。
但恶心出题人强制在线，期望得分 0pts。

算法三

发现算法二中有区间取 \(\max\) 的操作，考虑对每个质因子都建立一棵线段树，维护区间该质因子次数的最大值。查询时枚举质因子，累乘贡献即可。
时空复杂度 \(O(kn\log n)\)，\(k\) 为质因子个数，可知 \(k \approx \frac{n}{\ln n}\)，时间空间均无法承受，期望得分 0pts。

算法四

发现数的值域比较小，又出现了质因子这样的字眼，考虑套路根号分治。
先将不大于 \(\sqrt{2\times 10^5}\) 的质因子筛出，发现仅有 92 个，于是仅建立 92 棵线段树，套用算法三，维护区间该质因子次数最大值。

再考虑大于 \(\sqrt{2\times 10^5}\) 的质因子，它们在每个 \(a_i\) 中的次数最多为 1，取 \(\max\) 后次数也只能为 1。
则每种质因子只能贡献一次，查询区间内它们的贡献，即为查询区间内 不同权值 的乘积。
这是个经典问题，可以看这里统计区间里有多少个不同的数__莫队__主席树__树状数组_dctika1584的博客。不强制在线可以用线段树 + 扫描线，通过单点修改维护。强制在线，套路地可持久化即可。

总时空间复杂度均为 \(O(kn\log n + n\log^2 n)\)，\(k=92\)，能过。

对于不大于 \(\sqrt{2\times 10^5}\) 的质因子，质因子的幂 \(\le 2\times 10^5\)，因此代码中直接维护了该质因子的幂的最大值，而不是上述的次数。

//知识点：线段树，主席树 
/*
By:Luckyblock
注意在维护较小质因子的线段树中不能取模
合并的时候写的乘，并非取最大值。
我是，傻逼，哈哈。
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
const int kN = 1e5 + 10;
const int kMax = 2e5;
const int mod = 1e9 + 7;
//=============================================================
int p_num, p[kMax + 10];
bool vis[kMax + 10];
int n, m, ans, a[kN], last[kN], lastv[kMax];
int root[kN];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) {
    w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  }
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir_, int sec_) {
  if (sec_ > fir_) fir_ = sec_;
}
void Chkmin(int &fir_, int sec_) {
  if (sec_ < fir_) fir_ = sec_;
}
void Euler() {
  for (int i = 2; i <= kMax; ++ i) {
    if (! vis[i]) p[++ p_num] = i;
    for (int j = 1; j <= p_num && i * p[j] <= kMax; ++ j) {
      vis[i * p[j]] = true;
      if (i % p[j] == 0) break;
    }
  }
}
int QPow(int x_, int y_) {
  x_ %= mod;
  int ret = 1;
  for (; y_; y_ >>= 1) {
    if (y_ & 1) ret = 1ll * ret * x_ % mod;
    x_ = 1ll * x_ * x_ % mod;
  }
  return ret;
}
int Inv(int x_) {
  return QPow(x_, mod - 2);
}
namespace Hjt {
  #define ls (lson[now_])
  #define rs (rson[now_])
  #define mid ((L_+R_)>>1)
  int node_num, lson[kN << 6], rson[kN << 6], t[kN << 6];
  void Init() {
    t[0] = 1;
  }
  void Insert(int &now_, int pre_, int L_, int R_, int pos_, int val_) {
    now_ = ++ node_num;
    t[now_] = 1ll * t[pre_] * val_ % mod;
    if (L_ == R_) return ;
    ls = lson[pre_], rs = rson[pre_];
    if (pos_ <= mid) Insert(ls, lson[pre_], L_, mid, pos_, val_);
    else Insert(rs, rson[pre_], mid + 1, R_, pos_, val_);
  }
  int Query(int now_, int L_, int R_, int l_, int r_) {
    if (l_ <= L_ && R_ <= r_) return t[now_];
    int ret = 1;
    if (l_ <= mid) ret = 1ll * ret * Query(ls, L_, mid, l_, r_) % mod;
    if (r_ > mid) ret = 1ll * ret * Query(rs, mid + 1, R_, l_, r_) % mod;
    return ret;
  }
  #undef ls
  #undef rs
  #undef mid
}
#define ls (now_<<1)
#define rs (now_<<1|1)
#define mid ((L_+R_)>>1)
struct Seg {
  int t[kN << 2];
  void Build(int now_, int L_, int R_) {
    t[now_] = 1;
    if (L_ == R_) return ;
    Build(ls, L_, mid);
    Build(rs, mid +1, R_);
  }
  void Pushup(int now_) {
    t[now_] = std::max(t[ls], t[rs]);
  }
  void Insert(int now_, int L_, int R_, int pos_, int val_) {
    if (L_ == R_) {
      t[now_] = val_;
      return ;
    }
    if (pos_ <= mid) Insert(ls, L_, mid, pos_, val_);
    else Insert(rs, mid + 1, R_, pos_, val_);
    Pushup(now_);
  }
  int Query(int now_, int L_, int R_, int l_, int r_) {
    if (l_ <= L_ && R_ <= r_) return t[now_]; 
    int ret = 1;
    if (l_ <= mid) Chkmax(ret, Query(ls, L_, mid, l_, r_));
    if (r_ > mid) Chkmax(ret, Query(rs, mid + 1, R_, l_, r_));
    return ret;
  }
} t[93];
#undef ls
#undef rs
#undef mid
void Insert(int pos_) {
  int val = a[pos_] = read();
  for (int i = 1; p[i] * p[i] <= kMax; ++ i) {
    int d = p[i], delta = 1;
    if (val == 1) break;
    if (val % d) continue ;
    while (val % d == 0) {
      val /= d;
      delta *= d;
    }
    t[i].Insert(1, 1, n, pos_, delta);
  }
  root[pos_] = root[pos_ - 1];
  Hjt::Insert(root[pos_], root[pos_], 1, n, pos_, val);
  if (lastv[val]) Hjt::Insert(root[pos_], root[pos_], 1, n, lastv[val], Inv(val));
  lastv[val] = pos_;
}
int Query(int l_, int r_) {
  int ret = 1;
  for (int i = 1; p[i] * p[i] <= kMax; ++ i) {
    ret = 1ll * ret * std::max(1, t[i].Query(1, 1, n, l_, r_)) % mod;
  }
  ret = 1ll * ret * Hjt::Query(root[r_], 1, n, l_, r_) % mod;
  return ret;
}
void Prepare() {
  Euler();
  Hjt::Init();
  n = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) Insert(i);
}
//=============================================================
int main() {
  Prepare();
  m = read();
  while (m --) {
    int l = (read() + ans) % n + 1, r = (read() + ans) % n + 1;
    if (l > r) std::swap(l, r);
    printf("%d\n", ans = Query(l, r));
  }
  return 0;
}

总结

  • 注意平均数的下取整。
  • 强制在线题 RE 可能是因为某次答案变成负数导致，不要一 RE 就看数组大小。
posted @ 2020-11-15 22:40  Luckyblock  阅读(89)  评论(1)  编辑  收藏  举报