CF708C Centroids
知识点：换根 DP，up and down
原题面：Codeforces
上古时期的古代人类的涂鸦。
第一次正式地接触换根 DP = =
写这么个破题写了好长时间。
另外，up and down 似乎是 cdx 时代的叫法/jk
简述
给定一棵大小为 \(n\) 树。
可以进行一种修改：删去任意一条边，再加入一条边，需保证修改后后还是一棵树。
对于每一个节点，判断进行不多于一次修改后，该点能否成为重心（若以某个点为根，每个子树的大小都不大于\(\frac{n}{2}\)，则称该点为重心）。
\(1\le n\le 4\times 10^5\)，时限 4s。
分析
钦定 1 为根，求得所有子树的 \(size\) 和 重儿子 \(son\)。
考虑一个本不是重心的点 \(u\)，以它为根时必存在一\(size > \frac{n}{2}\) 的儿子。
在 dfs 的过程中考虑该子树的位置：
若该它在 \(u\) 以下，则一定为重儿子 \(son_u\)。
否则它由 \(u\) 以上树的剩余部分构成，大小为 \(n - size_u\)。
显然，欲使 \(u\) 成为重心，必须从该大小 \(>\frac{n}{2}\) 的子树取出一块。
贪心的想，最优的修改，是取出一块 \(size \le \frac{n}{2}\) 的且 \(size\) 最大的，直接接到 \(u\) 上。
若原子树 \(size\) 减去取出部分的 \(size\) \(\le \frac{n}{2}\)，\(u\) 就成为了重心。
需要同时维护子树和祖先的信息，考虑换根 DP。
第一次 dfs 处理子树信息，第二次 dfs 处理祖先信息进行换根。
先考虑子树信息。
设 \(f_{u}\) 表示 \(u\) 的 儿子 的子树中的，\(size \le \frac{n}{2}\) 的子树中的，最大的 \(size\)。
设 \(g_v\) 为 \(v\) 的贡献，则显然有：
对于祖先的信息，考虑在第二次 dfs 中维护。
设 \(val\) 表示 \(u\) 以上部分中，\(size \le \frac{n}{2}\) 的子树中的，最大的 \(size\)。
考虑向下深入，根由 \(u\) 变为 \(v\) 时，对 \(val\) 的影响。
对于\(v\) 上面部分，若 \(n - size_u\le \frac{n}{2}\)，则其贡献为 \(n - size_u\)，否则贡献为 \(val\)。
对于 \(v\) 的兄弟 \(d\)，显然其贡献为 \(f_d\)。
贡献取 \(\max\) 即为新的 \(val\)。
在第二次 dfs 换根时，进行答案的判定，则有：
考虑一些奇怪的实现。
在更新 \(val\) 时，提到了这样一句：「对于 \(v\) 的兄弟 \(d\)，显然其贡献为 \(f_d\)」。
若直接枚举兄弟进行更新，复杂度显然无法承受。
考虑预处理，对于一个节点 \(u\) 的所有儿子 \(v\)，考虑将所有 \(f_{v_i}\) 写成一个序列。
所求即为抠去 将转移到的 \(v\) 后序列的最大值，可以通过维护序列前缀 和 后缀最大值实现。
详见代码。
采用这样的实现后，总复杂度是常熟略大的 \(O(n)\)。
以上是个人的傻逼写法，看了题解之后学习了。
真的有必要维护前缀最大值，和后缀最大值吗？
显然没有必要。
若将转移到的 \(f_v\) 不是最大的，则用于更新的 \(f_{v_i}\) 一定是最大的。
否则则用于更新的 \(f_{v_i}\)，一定是次大的。
仅维护最大值和次大值即可，总复杂度不变，但常数和空间复杂度都大大减小。
代码
自己 YY 的粗鄙的实现。
//知识点：换根 DP
/*
By:Luckyblock
设 size[u]，u 子树的大小。
son[u]，u 的重儿子。
f[u]，u 的儿子中， size \le \dfrac{n}{2} 的子树中，最大的 size。
pre[u][x]，u 的前 x 个儿子中，size \le \dfrac{n}{2} 的子树中，最大的 size。
suf[u][x]，u 的后 x 个儿子中，size \le \dfrac{n}{2} 的子树中，最大的 size。
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define LL long long
const int kMaxn = 4e5 + 10;
const int kMaxm = kMaxn << 1;
//=============================================================
int n, e_num, head[kMaxn], v[kMaxm], ne[kMaxm];
int son[kMaxn], num[kMaxn], rk[kMaxn];
int size[kMaxn], f[kMaxn];
std::vector <int> pre[kMaxn], suf[kMaxn], tmp[kMaxn];
bool ans[kMaxn];
//=============================================================
inline int read() {
int f = 1, w = 0;
char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
if (ch == '-') f = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
return f * w;
}
void Chkmax(int &fir_, int sec_) {
if (sec_ > fir_) fir_ = sec_;
}
void Chkmin(int &fir_, int sec_) {
if (sec_ < fir_) fir_ = sec_;
}
void AddEdge(int u_, int v_) {
v[++ e_num] = v_;
ne[e_num] = head[u_];
head[u_] = e_num;
}
void Debug(int u_) {
for (int i = 1; i <= num[u_]; ++ i) {
printf("%d ", pre[u_][i]);
}
printf("\n");
for (int i = num[u_]; i >= 1; -- i) {
printf("%d ", suf[u_][i]);
}
printf("\n");
}
void Dfs1(int u_, int fa_) {
size[u_] = 1ll;
pre[u_].push_back(0);
suf[u_].push_back(0);
for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
int v_ = v[i];
if (v_ == fa_) continue ;
tmp[u_].push_back(v_);
rk[v_] = ++ num[u_];
Dfs1(v_, u_);
size[u_] += size[v_];
if (size[v_] > size[son[u_]]) son[u_] = v_;
int max_v = (size[v_] <= n / 2) ? size[v_] : f[v_];
pre[u_].push_back(max_v);
Chkmax(pre[u_][num[u_]], pre[u_][num[u_] - 1]);
}
for (int i = num[u_], j = 1; i >= 1; -- i, ++ j) {
int v_ = tmp[u_][i - 1];
int max_v = (size[v_] <= n / 2) ? size[v_] : f[v_];
suf[u_].push_back(max_v);
Chkmax(suf[u_][j], suf[u_][j - 1]);
}
f[u_] = pre[u_][num[u_]];
}
void Dfs2(int u_, int fa_, int val_) {
if ((size[son[u_]] <= n / 2) && (n - size[u_] <= n / 2)) {
ans[u_] = true;
} else {
if (size[son[u_]] > n / 2) {
ans[u_] |= (size[son[u_]] - f[son[u_]] <= n / 2);
} else {
ans[u_] |= (n - size[u_] - val_ <= n / 2);
}
}
for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
int v_ = v[i];
if (v_ == fa_) continue ;
int new_val = val_;
if (n - size[u_] <= n / 2) Chkmax(new_val, n - size[u_]);
Chkmax(new_val, pre[u_][rk[v_] - 1]);
Chkmax(new_val, suf[u_][num[u_] - rk[v_]]);
Dfs2(v_, u_, new_val);
}
}
//=============================================================
int main() {
n = read();
for (int i = 1; i < n; ++ i) {
int u_ = read(), v_ = read();
AddEdge(u_, v_), AddEdge(v_, u_);
}
Dfs1(1, 0), Dfs2(1, 0, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
printf("%d ", ans[i] ? 1 : 0);
}
return 0;
}
用于对拍的暴力。
对于每个节点，DP 找到其子树中 \(size\le \frac{n}{2}\) 的最大的子树用于修改。
复杂度 \(O(n^2)\)。
//知识点：DP
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define LL long long
const int kMaxn = 4e5 + 10;
const int kMaxm = kMaxn << 1;
//=============================================================
int n, e_num, head[kMaxn], v[kMaxm], ne[kMaxm];
int son[kMaxn], size[kMaxn], f[kMaxn];
bool ans[kMaxn];
//=============================================================
inline int read() {
int f = 1, w = 0;
char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
if (ch == '-') f = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
return f * w;
}
void Chkmax(int &fir_, int sec_) {
if (sec_ > fir_) fir_ = sec_;
}
void Chkmin(int &fir_, int sec_) {
if (sec_ < fir_) fir_ = sec_;
}
void AddEdge(int u_, int v_) {
v[++ e_num] = v_;
ne[e_num] = head[u_];
head[u_] = e_num;
}
void Dfs1(int u_, int fa_) {
size[u_] = 1ll;
for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
int v_ = v[i];
if (v_ == fa_) continue ;
Dfs1(v_, u_);
size[u_] += size[v_];
if (size[v_] > size[son[u_]]) son[u_] = v_;
int max_v = (size[v_] <= n / 2) ? size[v_] : f[v_];
Chkmax(f[u_], max_v);
}
}
//=============================================================
int main() {
freopen("1.in", "r", stdin);
freopen("force.out", "w", stdout);
n = read();
for (int i = 1; i < n; ++ i) {
int u_ = read(), v_ = read();
AddEdge(u_, v_), AddEdge(v_, u_);
}
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
memset(f, 0, sizeof (f));
memset(son, 0, sizeof (son));
memset(size, 0, sizeof (size));
Dfs1(i, 0);
if (size[son[i]] <= n / 2) {
ans[i] = true;
} else {
ans[i] |= size[son[i]] - f[son[i]] <= n / 2;
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
printf("%d ", ans[i] ? 1 : 0);
}
return 0;
}
