「CSP-SJX2019」网格图

知识点：最小生成树

原题面： Luogu

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扯

感觉挺秒的一道题，如果理解了 Kruscal 的本质的话比较好想。

“连有”总是打出来“镰鼬”，想到了寒假看的《怨恋》。
该怎么评价它呢= =
只能说画风比较喜人（

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题意简述

给定一 $n\times m$ 的网格图，边有边权，第 $r$ 行第 $c$ 列的点可表示为 $(r,c)$。
点 $(i,j)$ 与 $(i,j+1)$ 间连有一条权值为 $a_i$ 的边，其中 $1\le i\le n, 1\le j<m$。
点 $(i,j)$ 与 $(i+1,j)$ 间连有一条权值为 $b_j$ 的边，其中 $1\le i< n, 1\le j\le m$。
求最小生成树各边的权值和。
$1\le n,m\le 3\times 10^5$，$1\le a_i,b_j\le 10^5$。

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分析题意

题意挺抽象的，把样例画出来，发现长这样：

每一行，每一列的边权值相同。

考虑直接建图跑 Kruscal，复杂度 $O(nm\log nm)$。
获得了 64pts 的好成绩。

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考虑上述算法中 Kruscal 进行时的过程。
同 行/列 的边权相等，对边按权值排序后，它们一定在新的顺序中相邻。

考虑同 行/列 的边被添加的情况。
若它们连接的点 此时全部不连通，则它们会被连续地添加到生成树中。
否则，会选择此时不连通的点之间的边进行添加。

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从点的角度看：
答案即为，将所有点添加到生成树中的最小花费。
考虑加边对点的影响，添加新边后，不会影响旧点在树中的出现情况。
则上述两情况结果相同，都是将该 行/列 中所有点添加到树中。

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则可以得到一个神奇的算法：

将 整行/整列 整体考虑。
对于情况 1，需要把该 行/列 所有的边全部添加，相当于将该 行/列 添加到树中。
对于情况 2，其需要添加的边数，显然为该 行/列 中，已经被添加到生成树中的点数。
其值等于该 行/列 的边数 $-$ 已经被添加的 列/行 数。

在添加边时维护树中的 行/列 数即可。

一开始先对输入的 $n+m$ 条边排序，之后遍历它们。
复杂度 $O((n+m)\log (n+m) + n+m)$。

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爆零小技巧

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代码实现

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//知识点：最小生成树 
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
const int kMaxn = 3e5 + 10;
//=============================================================
int n, m, a[kMaxn], b[kMaxn], linked_x, linked_y;
ll ans;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
//=============================================================
int main() {
  n = read(), m = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) a[i] = read();
  for (int j = 1; j <= m; ++ j) b[j] = read();
  std :: sort(a + 1, a + n + 1);
  std :: sort(b + 1, b + m + 1);
  
  ans += 1ll * (m - 1) * a[1] + 1ll * (n - 1) * b[1];
  linked_x ++, linked_y ++; 
  for (int i = 2, j = 2; i <= n && j <= m; ) {
    if (a[i] <= b[j]) {
      ans += 1ll * (m - linked_y) * a[i];
      ++ linked_x, ++ i;
    } else {
      ans += 1ll * (n - linked_x) * b[j];
      ++ linked_y, ++ j;
    }
  }
  printf("%lld", ans);
  return 0;
}