「笔记」积性函数

目录

• 积性函数
  • 定义
  • 性质
  • 常见积性函数
• 莫比乌斯函数
  • 定义
  • 性质
  • 补充结论
  • 线性筛求莫比乌斯函数
• 狄利克雷(Dirichlet)卷积
  • 性质
  • 关于单位元 $e$
  • 除数函数与幂函数
  • 欧拉函数与恒等函数
• 写在最后

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积性函数

定义

若 $\gcd(x,y) = 1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

性质

若 $f(x)$，$g(x)$均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

$$\begin{aligned} & h(x) = f(x^p)\\ & h(x) = f^p(x)\\ & h(x) = f(x)g(x)\\ & h(x) = \sum_{d\mid x} f(d)g(\dfrac{x}{d}) \end{aligned}$$

常见积性函数

• 单位函数 $e(n) = [n = 1]$。
• 幂函数 $\operatorname{Id}_{k}(n) = n^k$， $\operatorname{id}_1(n)$ 通常简记为$\operatorname{id}(n)$。
• 常数函数 $1(n) = 1$。
• 因数个数 $\operatorname{d}(n) = \sum\limits_{d\mid n} 1$。
• 除数函数 $\sigma_{k}(n) = \sum\limits_{d\mid n} d^k$。
  $k=1$ 时为因数和函数，通常简记为 $\sigma(n)$。
  $k=0$ 时为因数个数函数 $\sigma_{0}(n)$。
• 欧拉函数 $\varphi(n) = \sum\limits_{i=1}^{n} [\gcd(i,n) = 1]$。
• 莫比乌斯函数 $\mu(n) = \begin{cases}1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{为}\ n\ \text{的本质不同质因子个数} \end{cases}$

不是很懂上面写的什么玩意？
不用深究，有个印象继续往下看就好。

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莫比乌斯函数

定义

$\mu$ 为莫比乌斯函数，定义为

$$\mu(n) = \begin{cases} 1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{为}\ n\ \text{的本质不同质因子个数} \end{cases}$$

解释

令 $n = \prod\limits_{i=1}^{k} p_{i}^{c_i}$，其中$p_i$为质因子，$c_i\ge 1$。

1. $n=1$时，$\mu (n) = 1$。
2. $n\not ={1}$时 ，
   • $\exist i\in [1,k], c_i > 1$ 时，$\mu (n) = 0$。
     当某质因子出现次数大于$1$时，$\mu (n) = 0$。
   • $\forall i\in [1,k], c_i = 1$ 时，$\mu (n) = (-1)^k$。
     当每个质因子只出现一次时，即$n = \prod\limits_{i=1}^{k}p_i$，$\{p_i\}$中元素唯一。
     $\mu (n) = (-1)^k$，此处$k$为质因子的种类数。

性质

莫比乌斯函数是积性函数，且具有以下性质

$$\large \sum_{d\mid n} \mu (d) = [n=1]$$

证明，设 $n = \prod\limits_{i=1}^{k}{p_i^{c_i}}, n' = \prod\limits_{i=1}^{k}{p_i}$。

• 根据莫比乌斯函数定义，则有：$\sum\limits_{d\mid n}{\mu(d)} = \sum\limits_{d\mid n'}{\mu(d)}$。
• 若 $n'$ 的某因子 $d$，有 $\mu (d) = (-1)^i$，则它由 $i$ 个 本质不同的质因子组成。
  由于质因子总数为 $k$，满足上式的因子数为 $C_{k}^{i}$。
• 对于原求和式，转为枚举 $\mu(d)$ 的值。
  则 $\sum\limits_{d\mid n'}{\mu(d)} = \sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i} \times (-1)^i} = \sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i} \times (-1)^i\times 1^{k-i}}$
  根据二项式定理，上式 $= (1+(-1))^k$，
  易知该式在 $k=0$，即 $n=0$ 时为 $1$，否则为 $0$。

补充结论

反演结论:

$$[\gcd(i,j) = 1] \iff \sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)} {\mu (d)}$$

证明 1：
设 $n = \gcd(i,j)$，则右$= \sum\limits_{d\mid n} {\mu (d)} = [n = 1] = [\gcd(i,j) = 1]=$ 左。

证明 2：
暴力展开：$[\gcd(i,j) = 1] = e(\gcd(i,j)) = \sum\limits_{d\mid \gcd(i,j)}\mu(d)$

线性筛求莫比乌斯函数

$\mu$ 为积性函数，因此可以线性筛莫比乌斯函数。

复制复制
int cnt, Mobius[kMaxn], Prime[kMaxn];
bool vis[kMaxn];
 
void GetMobius() {
  Mobius[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i ++) {
    if (!vis[i]) Mobius[i] = - 1, Prime[++ cnt] = i;
    for (int j = 1; j <= cnt && i * Prime[j] <= n; j ++) {
      vis[i * Prime[j]] = true;
      if (i % Prime[j] == 0) break;
      Mobius[i * Prime[j]] = - Mobius[i];
    }
  }
}

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狄利克雷(Dirichlet)卷积

建议阅读 算法学习笔记(35): 狄利克雷卷积 By: Pecco。

定义两个数论函数 $f,g$ 的狄利克雷卷积为

$$\large(f\ast g) (n) = \sum_{d\mid n} f(d)g(\dfrac{n}{d})$$

性质

1. 显然满足 交换律，结合律，分配律。
   • $f \ast g = g \ast f$
   • $(f \ast g) \ast h = f\ast (g\ast h)$
   • $f\ast (g+h) = f\ast g + f\ast h$
2. $e$ 为狄利克雷卷积的单位元，有$(f\ast e)(n) = f(n)$。
3. 若 $f,g$ 为积性函数，则 $f\ast g$ 为积性函数。

关于单位元 $e$

有：

$$e = \mu \ast 1=\sum\limits_{d\mid n} \mu (d)$$

证明

$$\begin{aligned} (f\ast e)(n) = \sum_{d\mid n} f(d)e(\dfrac{n}{d}) = \sum_{d\mid n} f(d)[\dfrac{n}{d} = 1] \end{aligned}$$

• 对于$[\dfrac{n}{d} = 1]$，当且仅当 $\dfrac{n}{d}=1$，即 $d=n$ 时为 $1$，否则为$0$。
• 则当 $d=n$ 时，$f(d)[\dfrac{n}{d}=1] = f(n)$。
  当 $d\not ={n}$ 时，$f(d)[\dfrac{n}{d}=1] = 0$。

综上，$(f\ast e)(n) = \sum\limits_{d\mid n} f(d)[\dfrac{n}{d} = 1] = f(n)$，满足单位元的性质。
则 $e = \mu \ast 1$ 成立。

除数函数与幂函数

幂函数 $\operatorname{Id}_{k}(n) = n^k$。
除数函数 $\sigma_{k}(n) = \sum\limits_{d\mid n} d^k$。

显然有：

$$(\operatorname{Id}_k\ast 1)(n) = \sum_{d\mid n} \operatorname{Id_k(d)} = \sum_{d\mid n} d^k = \sigma_k$$

当 $k=0$ 时，$\operatorname{Id_0}=1$，$\sigma_0$ 为因数个数函数，有：

$$(1\ast 1)(n) = \sum_{d\mid n}1 = \sigma_0$$

欧拉函数与恒等函数

$$\begin{aligned} \varphi \ast 1 =& \operatorname{Id}\\ \varphi =& \operatorname{Id}\ast \mu \end{aligned}$$

对于一式，当 $n=p^m$ 时（$p$ 为质数），有：

$$(\varphi \ast 1)(p^m) = \sum_{d\mid n}\varphi(d) = \varphi(1) +\sum_{i=1}^{m}\varphi(p^i) = 1 +\sum_{i=1}^{m}(p^i-p^{i-1}) = p^m$$

$p^i$ 的因子有 $p^{i-1}$ 个，为 $1\sim p^{i-1}$，故 $\varphi(p^i) = p^i-p^{i-1}$。

又 $(\varphi \ast 1)(n)$ 为积性函数，则对于任意正整数 $n$，有：

$$(\varphi \ast 1)(n) = (\varphi \ast 1)(\prod p^m) = \prod(\varphi \ast 1)(p^m) = \prod p^m = n$$

得证。

对于 2 式，在 1 式基础上两侧同时 $\ast \mu$ 即得。
左侧变为 $\varphi \ast 1\ast \mu = \varphi \ast e = \varphi$。

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写在最后

算法学习笔记(35): 狄利克雷卷积 By: Pecco

希望人没事