「笔记」数学乱记

目录

• 写在前面
• 扩展欧拉定理
• \(a\pmod m\) 的阶
• 原根
• 指数方程
• 二次剩余
• 组合数取模
• 积性函数
• 莫比乌斯函数
• 狄利克雷(Dirichlet)卷积
• 反演
• 杜教筛
• 类欧几里得算法
• 写在最后

Updated on 2020.8.7
想了想把积性函数一系列内容引用的挺多的。
独立出去了。

Updated on 2020.8.8
留了两个大坑：二次剩余，类欧几里得算法。
跑路了！

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写在前面

黑历史 数论知识整理。
当时还觉得自己挺 nb，现在一看写的就跟收纳胶囊一样。
但一些简单知识还是能看的，这里就不再整理了。

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扩展欧拉定理

模 \(p\) 意义下，对于 \(a^b\)，有如下性质。
不必保证 \((a,p) = 1\)。

\[a^b\equiv \begin{cases}a^b&b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)}&b\ge\varphi(p) \end{cases} \]

题目

P5091 【模板】扩展欧拉定理
P4139 上帝与集合的正确用法

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\(a\pmod m\) 的阶

若 \((a,m) = 1\)，记 \(x\) 为最小的正整数，使得 \(a^x \equiv 1 \pmod m\)，称 \(x\) 为 \(a\) 关于模 \(m\) 的阶，记为 \(\operatorname{ord}_{m}a\)。

有 \(\operatorname{ord}_{m}a\mid \varphi(m)\)，反证法略证：

设 \(t\nmid \varphi(m)\)，\(t\) 为最小的 满足 \(a^{t} \equiv 1\pmod m\) 的正整数。
则有：\(\varphi(m) = qt+r (1\le r<t)\)，
且有 \(a^m = a^{qt+r} \equiv 1 \pmod m\) 成立。
则： \(a^{r} \equiv 1\pmod m\)。

又 \(r< t\)，与已知矛盾，故结论不成立。

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求阶方法：

1. 预处理 \(\varphi (m)\) 的所有因子，从大到小枚举检查。
   单次检查复杂度 \(O(\log \varphi(m))\) ，但因子的个数会比较恐怖，总复杂度并不优秀。
2. 发现 \(x\) 为满足 \(a^x \equiv 1 \pmod m\) 的 \(\varphi(m)\) 的最小因子。
   设 \(x\) 初始值为 \(\varphi(m)\)，考虑枚举 \(\varphi(m)\) 的所有质因子试除。
   若满足 \(a^{\frac{x}{p}} \equiv 1\)，则 \(x = \frac{x}{p}\)。最后的 \(x\) 即为答案。
   复杂度 \(O(k\log \varphi(m))\)，\(k\) 为 \(\varphi(m)\) 的质因子个数。

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原根

若 \((g,m) = 1\)，且 \(\operatorname{ord}_{m} g = \varphi (m)\)，则称 \(g\) 为 \(m\) 的一个原根。

\(g\) 为 \(m\) 的一个原根 当且仅当 \(\{g^0,g^1,\cdots g^{\varphi(m)-1} \pmod m\}\) 内元素均不同，构成了模 \(m\) 的简化剩余系。

若 \(m\) 存在原根，则 \(m=1,2,4,\cdots p^a,2p^a\) (\(p\) 为奇素数，\(a\in \mathbf{N}^+\)) 。

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检验原根

设 \(p_1,p_2,\cdots ,p_k\) 为 \(\varphi(m)\) 的所有不同的质因子。
对于 满足 \((g,m)=1\) 的正整数 \(g\)，\(g\) 是 \(m\) 的原根，当且仅当对任意 \(1\le i\le k\)，都有 \(g^{\dfrac{\varphi(m)}{p_i}}\not\equiv 1 \pmod m\)。

需要枚举质因子 + 快速幂，单次检验复杂度为 \(O(\log^2 )\) 级别。

略证：

若 \(g\) 不是 \(m\) 的原根，则 \(\operatorname{ord}_{m}g< \varphi (m)\)。
又 \(\operatorname{ord}_{m}g \mid \varphi(m)\)，考虑枚举 \(\varphi(m)\) 的约数进行检验。
显然，\(\left\{\dfrac{\varphi(m)}{p_i}\right\}\) 中包含了 \(\varphi(m)\) 所有约数的倍数。
通过检验 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p_i}}\) 则可判断 \(\operatorname{ord}_m g<\varphi(m)\) 是否成立。

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求原根：

原根密度很大，大约是 \(n^{0.25}\)。

1. 可从 2 开始枚举 \(g\)，并进行检验，可找到最小的原根。
2. 直接随机一个数并进行检验。

复杂度均约为 \(O(n^{0.25})\)。

一道模板题

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原根有什么用

NTT！虽然还不会

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指数方程

形如下列形式的方程：

\[a^x \equiv b \pmod m \]

求解方法 BSGS。

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二次剩余

对于一个数 \(a\)，若 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数且模 \(p\) 同余于某个数的平方，则称 \(a\) 为模 \(p\) 的二次剩余。
一个不是 \(p\) 的倍数的数 \(a\)，不同余于任何数的平方，称其为模 \(p\) 的 非二次剩余 。

对二次剩余求解，即对常数 \(a\) 解下列方程：

\[x^2 \equiv a \pmod p \]

可以认为是求模意义下的开方。

咕咕咕了，详见： oi-wiki

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组合数取模

\[{n\choose m} \mod p \]

详见：组合数取模。

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积性函数

若\(\gcd(x,y) = 1\)且 \(f(xy)=f(x)f(y)\), 则\(f(n)\)为积性函数。

性质，举例详见：积性函数。

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莫比乌斯函数

\(\mu\) 为莫比乌斯函数，定义为

\[\mu(n) = \begin{cases} 1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{为}\ n\ \text{的本质不同质因子个数} \end{cases}\]

性质，补充性质详见：莫比乌斯函数。

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狄利克雷(Dirichlet)卷积

定义两个数论函数 \(f,g\) 的狄利克雷卷积为

\[\large(f\ast g) (n) = \sum_{d\mid n} f(d)g(\dfrac{n}{d}) \]

建议阅读 算法学习笔记(35): 狄利克雷卷积 By: Pecco。
性质，举例详见：狄利克雷卷积。

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反演

给定数列 \(f_i, g_i\)，存在：

\[g_n = \sum_{i=0}^{n}a_{n,i}f_i \]

这里使用 \(f\) 推出了 \(g\)，反演的过程就是使用 \(g\) 推出 \(f\)。
也就是找到系数数组 \(b\)，使得：

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}g_i \]

引用自学长 fastle 的课件。

详见：反演。

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杜教筛

可在低于线性时间的复杂度内 处理数论函数的前缀和。

详见：杜教筛。

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类欧几里得算法

P5170 【模板】类欧几里得算法
查看题解

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写在最后

参考资料：

算法学习笔记(35): 狄利克雷卷积 By: Pecco。
杜教筛 - pengym。
oi-wiki。

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