P3306 [SDOI2013] 随机数生成器

知识点: BSGS

原题面

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题意简述

\(T\) 组数据，每组给定参数 \(p,a,b,x_1,t\)。
对于数列 \(x\)，有 \(x_{i+1} \equiv a \times x_i + b \pmod p\)。
求最小的 \(i\)，使 \(t = x_{i}\)。
\(1\le T\le 50, 0\le a,b,x_1,t <p, 2\le p\le 10^9\)。
保证 \(p\) 为质数。

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分析题意

以下分析均在 \(\pmod p\) 下展开：

观察给定的递推式：

\[\begin{aligned} x_2 \equiv& ax_1 + b\\ x_3 \equiv& a(a x_1 + b) +b=a^2x_1 +ab + b\\ x_4 \equiv& a^3x_1 +a^2b + ab + b \end{aligned}\]

可知其通项公式：

\[x_i \equiv a^{i-1}x_1 +b\sum_{k=0}^{i-2}a_k \]

发现后面一项为等比数列，套上求和公式略做处理：

\[\begin{aligned} x_i \equiv& a^{i-1}x_1 +b\sum_{k=0}^{i-2}a_k\\ x_i \equiv& a^{i-1}x_1 +\dfrac{1-a^{i-1}}{1-a}b\\ (a-1)x_i \equiv& (a-1)a^{i-1}x_1 +(a^{i-1}+1)b\\ ax^{i}-x_i+b \equiv& (ax_1-x_1+b) a^{i-1}\\ a^{i-1} \equiv& \dfrac{ax^{i}-x_i+b}{ax_1-x_1+b} \end{aligned}\]

将 \(t\) 代入，有：

\[a^{i-1} \equiv \dfrac{at-t+b}{ax_1-x_1+b} \]

化出了一个长得就很 BSGS 的指数方程。
直接套 BSGS 即可，注意最后输出时答案+1。

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细节

本题重点考察对象。
以下特判按照顺序展开。

1. \(x_1=t\)，直接输出 \(1\)。
2. \(a=1\)，\(x\) 变成了一个等差数列，有 \(x_i \equiv x_1+(i-1)b\)。
   若 \(b=0\)，则无解。
   否则 代入 \(t\) 略做处理，有 \(i-1\equiv \dfrac{t-x_1}{b}\)。
   费马小定理求出右侧，答案即右侧 + 1。
3. \(a=0\)，\(x\) 从第二项起变为常数列，有 \(x_i\equiv b (i>1)\)。
   判断 \(b=t\) 是否成立，若成立答案为 \(2\)，否则无解。

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代码实现

//知识点：BSGS
/*
By:Luckyblock
*/
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctype.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
//=============================================================
ll p, a, b, x, t, T;
std :: map <ll, ll> mp;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void GetMax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void GetMin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
ll QuickPow(ll x_, ll y_, ll mod_) {
  ll ret = 1;
  while (y_) {
    if (y_ & 1) ret = 1ll * ret * x_ % mod_;
    y_ >>= 1, x_ = 1ll * x_ * x_ % mod_;
  }
  return ret;
}
void Prepare() {
  mp.clear();
  b = ((t * a + b - t) % p + p) % p * QuickPow(((a * x + b - x) % p + p) % p, p - 2, p) % p;
}
void BabyStep() {
  T = ceil(sqrt(double(p))) + 1;
  ll sum = b;
  for (ll r = 0; r < T; ++ r) {
    mp[sum] = r;
    sum = 1ll * sum * a % p;
  }
}
ll GiantStep() {
  if (b == 1) return 0;
  ll at = QuickPow(a, T, p), sum = at;
  if (! at) return (! b) ? 1 : - 1;
  for (ll q = 1; q <= T; ++ q) {
    if (mp.count(sum)) return q * T - mp[sum];
    sum = (1ll * sum * at) % p;
  }
  return - 1;
}
//=============================================================
int main() {
  int TestdataNum = read();
  while (TestdataNum --) {
    p = read(), a = read(), b = read(), x = read(), t = read();
    if (x == t) {
      printf("1\n"); 
      continue ;
    } 
    if (a == 1) {
      if (! b) {
        printf("-1\n");
      } else {
        t = ((t - x) % p + p) % p;
        printf("%lld\n", t * QuickPow(b, p - 2, p) % p + 1);
      }
      continue ;
    }
    if (a == 0) {
      printf("%d\n", b == t ? 2 : - 1);
      continue ;
    }
    Prepare();
    BabyStep();
    ll ans = GiantStep();
    printf("%d\n", ans >= 0 ? ans + 1 : - 1);
  }
  return 0;
}