「笔记」BSGS

这玩意这么水的?

线性方程

形如下列形式的方程:

\[\large a^x \equiv b \pmod m \]

BSGS

简介

BSGS(baby-step giant-step)半死龟速算法,常用于求解离散对数问题。
该算法可以在 \(O(\sqrt{m})\) 的时间内求解 \((a,m)=1\) 时的线性方程。

算法描述

设定一个常量 \(T\),将 \(x=qT-r\),其中 \(0\le r< T\)。对原方程进行转化:

\[\large \begin{aligned} a^{qT-r} &\equiv b &\pmod m\\ a^{qT}&\equiv a^r b &\pmod m \end{aligned}\]

考虑预处理所有 \(a^{r}b \mod m\) 的值,存到 hash 表/ map 里。求解时枚举 \(q\),并计算出 \(a^{qT}\)。判断 hash 表/map 里是否出现了 \(a^{qT}\),出现则说明等式成立,方程有解。

预处理枚举至多 \(T\)\(r\),复杂度 \(O(T)\)。查询至多 \(\dfrac{m}{T}\)\(a^{qT} \mod m\),复杂度为 \(O(\dfrac{m}{T})\)
总复杂度 \(O(\dfrac{m}{T} + T)\),在 \(T = \sqrt{m}\) 时达到平衡,复杂度为 \(O(\sqrt{m})\)

正确性

这样构造的 \(x\),均有 \(x\le m\) 为什么这样一定有解?

考虑欧拉定理,有:

\[a^{\varphi(m)} \equiv 1\ (a\perp m) \]

由于保证了 \(m\) 为质数,则上式必成立。可知对于一个解 \(x\),有:

\[a^x\equiv b \Longrightarrow a^{x\mod \varphi(m)}\equiv b \pmod m \]

\(x\le \varphi(m) \le m\) 时必有解。

代码实现

P3846 【模板】BSGS

要输出最小解?有两种方法:

  1. 存到 map 里,令 \(a^{r}b \mod m\) 映射 \(\min\{ q\}\)。简单暴力,但复杂度多了一个 \(\log\)
  2. 改造一下 hash 表,把 \(q\) 一块存进去。

由于枚举的是 q,可保证 \(qT > r\)。第一个枚举到的 \(q\) 即为最小解。

//知识点:BSGS
/*
By:Luckyblock
*/
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctype.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
//=============================================================
int p, b, n, T;
std :: map <int, int> mp;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void GetMax(int &fir, int sec) {
  if (sec > fir) fir = sec;
}
void GetMin(int &fir, int sec) {
  if (sec < fir) fir = sec;
}
int QuickPow(int x, int y, int mod) {
  int ret = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) ret = 1ll * ret * x % mod;
    y >>= 1, x = 1ll * x * x % mod;
  }
  return ret;
}
void BabyStep() {
  T = ceil(sqrt(double(p))) + 1;
  int sum = n;
  for (int r = 0; r < T; ++ r) {
    mp[sum] = r;
    sum = 1ll * sum * b % p;
  }
}
bool GiantStep() {
  int bt = QuickPow(b, T, p), sum = bt;
  for (int q = 1; q <= T; ++ q) {
    if (mp.count(sum)) {
      printf("%d\n", q * T - mp[sum]);
      return true;
    }
    sum = (1ll * sum * bt) % p;
  }
  return false;
}
//=============================================================
int main() {
  p = read(), b = read(), n = read();
  if (b % p == 0) {
    printf("no solution\n");
    return 0;
  }
  BabyStep();
  if (! GiantStep()) printf("no solution\n");
  return 0;
}

exBSGS

用于求解 \((a,m)\not=1\) 时的线性方程。

考虑将其转化为 BSGS 的一般形式。发现当 \((a,m)=1\) 时,\(a\)\(\mod m\) 下存在逆元,可令等式右侧出现 \(a\) 的幂次,可以进行 BSGS 算法。

算法描述

\(d_1 = (a,m)\),若 \(d_1 \nmid b\),则原方程无解。否则令方程两侧同除 \(d_1\),得到:

\[\dfrac{a}{d_1} \cdot a^{x-1} \equiv \dfrac{b}{d_1} \pmod {\dfrac{m}{d_1}} \]

\((a, \dfrac{m}{d_1}) \not= 1\),设 \(d_2 = (a, \dfrac{m}{d_1})\),重复上述步骤。直到 \((a, \dfrac{m}{\prod_{i=1}^{k} d_k}) = 1\) 停止。

\(\prod_{i=1}^{k} d_i = D\),此时方程变为:

\[\dfrac{a^{k}}{D}\cdot a^{x-k}\equiv \dfrac{b}{D} \pmod {\dfrac{m}{D}} \]

然后就可以直接做 BSGS 了。在枚举 \(a^{qT}\) 判断时乘上常数 \(\dfrac{a^{k}}{D}\) 即可。

注意解 \(x\) 可能 \(\le k\),在枚举 \(k\) 时判断 \(a^{x-k}\equiv b \pmod m\) 是否存在。注意保证 指数不为负数。

代码实现

P4195 【模板】扩展BSGS

map 会 T。 用 map 跑过去了。
建议改成 hash

//知识点:BSGS
/*
By:Luckyblock
I love Marisa;
but Marisa has died;
*/
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctype.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
//=============================================================
ll q, p, a, n, ans, T;
std :: map <ll, ll> mp;
//=============================================================
inline ll read() {
  ll f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
ll QuickPow(ll x, ll y, ll mod) {
  ll ret = 1ll;
  while (y) {
    if (y & 1ll) ret = 1ll * ret * x % mod;
    y >>= 1, x = 1ll * x * x % mod;
  }
  return ret;
}
ll gcd(int x, int y) {
  return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
ll BSGS(ll a, ll n, ll p, ll ad) {
  mp.clear();
  T = ceil(sqrt(double(p))) + 1;
  for (ll r = 0, sum = n % p; r < T; ++ r) {
    mp[sum] = r; //直接赋值即可,不必比较大小
    sum = 1ll * sum * a % p;
  }
  ll at = QuickPow(a, T, p), sum = ad;
  for (ll q = 0; q <= T; ++ q) {
    if (mp.count(sum)) {
      if (1ll * q * T - mp[sum] >= 0ll) {
        return 1ll * q * T - mp[sum]; 
      }
    }
    sum = 1ll * sum * at % p;
  }
  return - 1;
}
ll exBSGS(ll a, ll n, ll p) {
  a %= p, n %= p;
  if (n == 1 || p == 1) return 0;

  ll k = 0, d, ad = 1;
  while ((d = (gcd(a, p))) != 1) {
    if (n % d) return - 1;
    k ++; 
    n /= d, p /= d;
    ad = (1ll * ad * a / d) % p;
    if (ad == n) return k;
  }
  ll ans = BSGS(a, n, p, ad);
  if (ans == - 1) return - 1;
  return ans + k;
}
//=============================================================
int main() {
  a = read(), p = read(), n = read();
  while (a || p || n) {
    ll ans = exBSGS(a, n, p);
    if (ans >= 0) {
      printf("%lld\n", ans);
    } else {
      printf("No Solution\n");
    }
    a = read(), p = read(), n = read();
  }
  return 0;
}

例题

P3306 [SDOI2013] 随机数生成器 稍微化下柿子。
P2485 [SDOI2011]计算器 模板水题。

写在最后

现在是是 2020.8.4 19:38。
我刚刚救出了被困在宿舍楼一下午的学长 cdx。
虽然他水了一下午群打了一下午游戏 看起来很享受的样子。
おめでとう!

posted @ 2020-08-04 19:50  Luckyblock  阅读(234)  评论(2编辑  收藏  举报