写在前面
来学习早就应该会的玩意了/jk
公式恐惧症得到了极大的治疗（
未完持续...
排列组合
排列 \(A(n,m)\)：从 \(n\) 个不同的数中选出 \(m\) 个数，组成序列的方案数。
\[A(n,m) = \dfrac{n!}{(n-m)!}
\]
组合 \(\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)\) （或写作 \(C(n,m)\)）：从 \(n\) 个不同的数中选出一大小为 \(m\) 的无序集合的方案数。
\[\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right) = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}
\]
证明详见 https://www.cnblogs.com/1024th/p/10623541.html。
组合数性质
注意各变量的大小关系要求。
性质 1
\[\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right) = \displaystyle\left(\begin{matrix}n\\n-m\end{matrix}\right)
\]
选出 \(m\) 个物品 方案数 = 选出 不选的 \(n-m\) 个物品 方案数。
性质 2
\[\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right) = \displaystyle\left(\begin{matrix}n-1\\m-1\end{matrix}\right) + \displaystyle\left(\begin{matrix}n-1\\m\end{matrix}\right)
\]
递推公式
考虑新的组合是否含有元素 \(n\)。
若不含有，则需从 \(n-1\) 个元素中选择 \(m\) 个元素。
否则，还需从 \(n-1\) 个元素中，选择 \(m-1\) 个元素。
性质 3
\[\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right) = 2^n
\]
考虑数学归纳。
\(n=0\) 时，上式显然成立。
\(n=d+1\) 时，通过性质 2 展开上式，有：
\[\sum_{i=0}^{d+1}\displaystyle\left(\begin{matrix}d+1\\i\end{matrix}\right)= 2\sum_{i=0}^{d}{\displaystyle\left(\begin{matrix}d\\i\end{matrix}\right)} = 2\times 2^{d} = 2^{d+1}
\]
性质 4
\[\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)\left[2 \mid i\right] = \sum_{i=0}^{n}\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)\left[2 \nmid i\right]=2^{n-1}
\]
通过性质 2 暴力展开上式，有：
\[\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)\left[2 \mid i\right] = \sum_{i=0}^{n}\displaystyle\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)\left[2 \nmid i\right]=\sum_{i=0}^{n-1}{\displaystyle\left(\begin{matrix}n-1\\i\end{matrix}\right)}
\]
由性质 3，可知：
\[\sum_{i=0}^{n-1}{\displaystyle\left(\begin{matrix}n-1\\i\end{matrix}\right)} = 2^{n-1}
\]
性质 5
插板法：
\(k\) 个非负整数变量和为 \(n\) 的方案数：
\[\displaystyle \left(\begin{matrix}n+k-1\\k-1\end{matrix}\right)
\]
相当于把 \(n\) 个小球分为 \(k\) 份的方案数。
需要插入 \(k-1\) 个板。
一份中可以没有球，则有 \(n+k-1\) 个空隙可以插板。
性质 6
\[\sum_{i=0}^{m}\displaystyle \left(\begin{matrix}n+i\\n\end{matrix}\right) = \displaystyle \left(\begin{matrix}n+m+1\\m\end{matrix}\right)
\]
考虑实际意义。
给定一 \(n\) 列 \(m\) 行的矩阵。
\(n+i\) 即为 \((0,0) \rightarrow (n,i)\) 的曼哈顿距离。
若一次只能向 右/上 移动 \(1\)，则需向右移动 \(n\) 步， 向上移动 \(i\) 步。
\(\displaystyle \left(\begin{matrix}n+i\\n\end{matrix}\right)\) 即从 \(n+i\) 步中选择 \(n\) 步向右的方案数，即到达 \((0,n)\) 的路线数。
\(\sum\limits_{i=0}^{m}\displaystyle \left(\begin{matrix}n+i\\n\end{matrix}\right)\) 即为到达 \((n,0) \sim (n,m)\) 的路线数。
由性质 \(1\)，等式右侧即为：
\[\displaystyle \left(\begin{matrix}n+m+1\\m\end{matrix}\right)=\displaystyle \left(\begin{matrix}n+m+1\\n+1\end{matrix}\right)
\]
即为到达 \((n+1,m)\) 的路线数。
显然，到达 \((n+1,m)\)，一定经过 \((n,0) \sim (n,m)\) 中至少一个。
设当前位置为 \((n,k)\)，第一步位置只能向右走。
向上走的情况被包含在 \((n,k+1)\) 的方案中了。
向右走后，之后只能向上，路线唯一确定。
则其对答案贡献为 \(\displaystyle \left(\begin{matrix}n+k\\n\end{matrix}\right)\)。
贡献求和，即为上式。
性质 7
\[\sum_{i=m}^{n}\displaystyle\left(\begin{matrix}i\\m\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}n+1\\m+1\end{matrix}\right)
\]
通过性质 1 和性质 6 变形：
\[\sum_{i=m}^{n}\displaystyle\left(\begin{matrix}i\\m\end{matrix}\right) = \sum_{i=0}^{n-m}\displaystyle\left(\begin{matrix}m+i\\m\end{matrix}\right) = \displaystyle \left(\begin{matrix}n+1\\n-m\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}n+1\\m+1\end{matrix}\right)
\]
性质 8
\[\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n-k\\m-k\end{matrix}\right)
\]
左式等价于从 \(n\) 个选 \(m\) 个，再从 \(m\) 个中选 \(k\) 个。
右式调换选择顺序，先选 \(k\) 个，再从没选的 \(n-k\) 中选 \(m-k\) 个。
性质 9
\[\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\k-i\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}n+m\\k\end{matrix}\right)
\]
考虑左式的实际意义。
即从 \(n\) 个物品中选择 \(i\) 个，从 \(m\) 个物品中选择 \(k-i\) 个的方案数。
等价于直接从 \(n+m\) 个物品中选 \(k\) 个。
性质 10
\[n^{\underline{m}}={n\choose m} \times m!
\]
\(n\) 的 \(m\) 次下降幂定义为：
\[n^{\underline{m}} = n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}
\]
观察可知 \(n^{\underline{m}} = A(n,m)\)，则有：\(n^{\underline{m}}={n\choose m} \times m!\)。
二项式定理
\[(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n}\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)x^iy^{n-i}
\]
证明考虑组合意义，第 \(i\) 项表示从 \(n\) 个括号中选出 \(i\) 个 \(x\)，\(n-i\) 个 \(y\) 的方案数。
杨辉三角
优美！
组合数取模
详见：「笔记」组合数取模。
斯特林数
斯特林数
第一类斯特林数
第二类斯特林数
上升幂 和 下降幂
斯特林反演
容斥原理
容斥原理
容斥原理
min-max容斥
写在最后
写 \(\LaTeX\) 好开心（错乱）
