题解 P4910 【帕秋莉的手环】

知识点: DP，矩阵加速

原题面

题目要求:

给定一个长度为 \(n\) 的环，要求在每个位置填入 金色或绿色，不能有两个相邻的绿色。
求填色方案数。
多组数据, \(T\le 10, n\le 10^{18}\)

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分析题意

矩阵加速模板。

设 \(f_{i,0/1}\) 为当前填到第 \(i\) 位，第一个位置为 金色/绿色 的合法方案数。
分成第一个位置为 绿/金讨论：

1. 第一个位置为绿色时，\(f_{1,0} = 0,f_{1,1} = 1\)。
   由于不能有两个相邻的绿色，则结尾珠子必为金色。
   其对答案的贡献为 \(f_{n,0}\)
2. 第一个位置为金色时，\(f_{1,0} = 1, f_{1,1} = 0\)。
   此时结尾珠子颜色任意。
   其对答案的贡献为 \(f_{n,0} + f_{n,1}\)

状态转移方程：
\(f_{i,0} = f_{i-1,0} + f_{i-1,1}\)
\(f_{i,1} = f_{i-1,0}\)

复杂度 \(O(Tn)\)，期望得分 \(\text{60pts}\)。

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上式显然可矩阵加速，转移矩阵如下：

\[\begin{bmatrix}f_{i-1,0}&f_{i-1,1}\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{i,0}&f_{i,1}\end{bmatrix} \]

复杂度 \(O(T\log n)\)，期望得分 \(\text{100pts}\)。

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代码实现

//
/*
By:Luckyblock 
*/
#include <cstdio>
#include <ctype.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
const ll kMod = 1e9 + 7;
//=============================================================
struct Matrix {
  ll a[2][2];
} shift, sum;
ll T, n, ans; //0金 1绿 
//=============================================================
inline ll read() {
  ll f = 1, w = 0; char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
Matrix operator * (const Matrix &a, const Matrix &b) {
  Matrix c;
  memset(c.a, 0, sizeof(c));
  for (int k = 0; k <= 1; ++ k) {
    for (int i = 0; i <= 1; ++ i) {
      for (int j = 0; j <= 1; ++ j) {
        c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j] % kMod) % kMod;
      }
    }
  }
  return c;
}
void Build(Matrix &a) {
  memset(a.a, 0, sizeof(a.a));
  for (int i = 0; i <= 1; ++ i) a.a[i][i] = 1;
}
Matrix qpow(Matrix x, ll y) {
  Matrix ret;
  Build(ret);
  while (y) {
    if (y & 1) ret = ret * x;
    x = x * x; y >>= 1;
  }
  return ret;
}
//=============================================================
int main() {
  T = read();
  while (T --) {
    n = read(), ans = 0;
    memset(shift.a, 0, sizeof(shift.a));
    shift.a[0][0] = shift.a[0][1] = shift.a[1][0] = 1;
    shift = qpow(shift, n - 1);
    
    memset(sum.a, 0, sizeof(sum.a));
    sum.a[0][0] = 1, sum = sum * shift;
    ans = ((ans + sum.a[0][0]) % kMod + sum.a[0][1]) % kMod;
    
    memset(sum.a, 0, sizeof(sum.a));
    sum.a[0][1] = 1, sum = sum * shift;
    ans = (ans + sum.a[0][0]) % kMod;
    
    printf("%lld\n", ans);
  }
  return 0;
}