题解 P3868 【[TJOI2009]猜数字】
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分析题意:
现有两组数字，每组 \(k\) 个，
第一组中的数字分别为：\(a_1,a_2,...,a_k\) 表示，
第二组中的数字分别用\(b_1,b_2, ... ,b_k\)表示。
第二组中的数字\(\underline{\text{两两互质}}\)。
求最小的非负整数 \(n\) ，
\(\underline{\text{满足对于任意的}i,n - a_i \text{ 能被 } b_i \text{ 整除}}\)。根据题意 ， 题干可以转化为:
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要解如下的同余方程组 ：
\(\begin{cases}x \equiv a_1\pmod {b_1}\\x \equiv a_2\pmod {b_2}\\......\\x \equiv a_n\pmod {b_n}\\\end{cases}\)
因为 \(bi\) 之间 两两互质，所以可以用 中国剩余定理 求解
但是 中国剩余定理 适用范围太小，
这里介绍用 扩展中国剩余定理 求解。 -
求解同余方程组 (扩展中国剩余定理)
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要解如下的同余方程组 ：
\(\begin{cases}x \equiv a_1\pmod {b_1}\\x \equiv a_2\pmod {b_2}\\......\\x \equiv a_n\pmod {b_n}\\\end{cases}\)
其中 , \(a_i,b_i\)为非负整数 ， \(b_1,b_2,...,b_n\) 不一定互质
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求解:
假设已经求出了前 \(k-1\) 个方程的解 \(x_{k-1}\)
设 \(M=LCM_{i=1}^{k-1} bi\) , 即 \(M\) 为前 \(k-1\) 个模数 \(b\) 的最小公倍数则 :
对于前 \(k-1\)个方程, 都满足\(x_{k-1}+tM\equiv a_i\pmod {b_i}\ \ (t\in Z)\)
即 : 前 \(k-1\) 个方程 , 通解为 \(x_{k-1}+tM\ \ (t\in Z)\)欲求得第 \(k\) 个方程的解 , 并且将求得的解 , 也满足前 \(k-1\) 个方程
则 :
需要使第 \(k\) 个方程的解 , 为前 \(k-1\) 的方程的通解的同时 ， 也满足第 \(k\) 个方程的条件 。设 : 第\(k\) 个方程的解 \(x_k = x_{k-1}+tM\ \ (t\in Z)\)
将此解代入第 \(k\) 个方程中 , 可得 :
\(x_{k-1}+tM\equiv a_k\pmod{b_k}\)
即 : \(tM\equiv a_k-x_{k-1}\pmod{b_k}\)
其中 : \(M,a_k,x_{k-1},b_k\) 都是已知的 。使用 \(exgcd\) 解出此同余方程 , 可以得到 \(t\) 的值 。
将 \(t\) 的值代回 \(x_k = x_{k-1}+tM\ \ (t\in Z)\) ，就可得到\(x_k\)的值
进行 \(k\) 次上述操作后 ，便可得到 方程组的解 。
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本题坑点：
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数据范围：
如果只是开 \(long\ long\) 的话，取余时无论如何都会炸掉
为了避免 变量爆破 ，要用一种叫做 快速乘取余 的奇\((ba)\)妙\((ka)\) 算法。
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快速乘取余 (又称龟速乘)
其本质与快速幂取余类似，都是二进制的拆分应用 。
假设有 \(k\) 个 \(a\) 相乘
快速乘 将其分解成了 \(a\times 2a \times 4a\times ....\) 的形式。
这样就可以边乘边取余，来防止变量爆破 , 数据溢出。但是却将乘法的时间复杂度，
硬生生的拉到了 \(O(logn)\) 级别ll mul(ll A,ll B,ll mod) //快速乘取余 模板 { ll ans=0; while(B>0) { if(B & 1) ans=(ans+A%mod)%mod; A=(A+A)%mod; B>>=1; } return ans; }
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\(a_i\) 可能为负数。
扩展中国剩余定理只适用于： \(a_i,b_i\)为非负整数 的情况
所以要先将 \(a_i\) 都转化为非负整数
只需要加这么一步操作即可：for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=(a[i]+b[i])%b[i];根据同余的性质，
正确性显然。
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附本题AC代码:
//扩展中国剩余定理模板
//详见注释
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll a[100010],b[100010];
ll mul(ll A,ll B,ll mod) //快速乘取余 模板
{
ll ans=0;
while(B>0)
{
if(B & 1) ans=(ans+A%mod)%mod;
A=(A+A)%mod;
B>>=1;
}
return ans;
}
ll exgcd(ll A,ll B,ll &x,ll &y) //扩展欧几里得 模板
{
if(!B)
{
x=1,y=0;
return A;
}
ll d=exgcd(B,A%B,x,y);
ll tmp=x;
x=y , y=tmp-A/B*y;
return d;
}
ll lcm(ll A,ll B) //求最小公倍数
{
ll xxx,yyy;
ll g=exgcd(A,B,xxx,yyy);
return (A/g*B);
}
ll excrt() //重点:求解同余方程组
{
ll x,y;
ll M=b[1],ans=a[1]; //赋初值
//M为前k-1个数的最小公倍数，ans为前k-1个方程的通解
for(int i=2;i<=n;i++)
{
ll A=M,B=b[i];
ll C=(a[i]-ans%B+B)%B; //代表同余方程 ax≡c(mod b) 中a,b,c
ll g=exgcd(A,B,x,y);
//求得A,B的最大公约数，与同余方程ax≡gcd(a,b)(mod b)的解，
if(C%g) return -1; //无解的情况
x=mul(x,C/g,B); //求得x的值,x即t
ans+=x*M; //获得前k个方程的通解
M=lcm(M,B); //更改M的值
ans=(ans%M+M)%M;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&b[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=(a[i]+b[i])%b[i];
ll ans=excrt();
printf("%lld",ans);
}
话说省选考这种数论模板真的好吗
