题解 P4310 【绝世好题】
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知识点:DP , 奇妙思路 , 暴力枚举(?)
一道绝世好题
-
题目要求:
求 \(a\) 的子序列 \(b\) 的最长长度,
满足 \(bi\ \&\ bi-1\not=0\)
\(n \le 1e5 , a_i \le 1e9\) -
暴力思路:
类比最长上升子序列
直接 \(O(n^2)\) 暴力枚举
当前要添加的数,以及序列 \(b\) 结尾的数设 \(f[i]\) 表示以\(a[i]\)结尾的 \(b\)序列的最长长度
则: 状态转移方程式为:
\(\large f[i] = max(f[i], f[j]+1)\ (a[i]\ \&\ a[j] \not=0)\)可以取得 \(90\) 分的好成绩(大雾)
-
考虑优化
发现新添加的数,
只能由:
在同一二进制位上 , 同为1的数转移而来也就是说,
可以选择 枚举
新添加的数的 二进制上的1位考虑枚举二进制位
并记录 :
此二进制位全为为\(1\)的数 组成的 子序列\(b\)
所能达到的最大长度为多少设 \(f[i]\) 表示 : 最后一位为 \(i\) 的 \(b\) 数列的最长长度,
\(bit[j]\) 表示 : 二进制第 \(j\) 位为 \(1\) 的数 , 组成的子序列 \(b\) 的最长长度
\(k\) 为 枚举的: \(a[i]\) 中 , 二进制上为 \(1\) 的二进制位数则可以推出新的状态转移方程式:
$ \large f[i] = max(f[i] , bit[k]+1)$这样 就可以少一层循环
来枚举 新添加的数 可接到 哪些数之后.更新完 \(f[i]\) 后 , 再用更新后的 \(f[i]\) ,
反过来 更新 \(bit[k]\)对于枚举 \(k\) , 可以使用 \(lowbit()\) , 并取其 \(log\) 函数值来获得
在更新 \(f[i]\) 的过程中取最大的 \(f[i]\) 作为答案
最后优化到了 \(O(31 \times n)\) .
(因为最多只有 \(31\) 个二进制位上的 \(1\) )
上代码:
\(O(n^2)\) 暴力90分:
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
const int MARX = 1e5+10;;
//=============================================================
int n,ans,a[MARX];
int f[MARX];
//=============================================================
inline int read()
{
int s=1, w=0; char ch=getchar();
for(; !isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') s =-1;
for(; isdigit(ch);ch=getchar()) w = w*10+ch-'0';
return s*w;
}
//=============================================================
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),f[i]=1;//读入并初始化
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[i] & a[j])
f[i]=std::max(f[i],f[j]+1),//更新f[i]并找到最大值
ans=std::max(ans,f[i]);
printf("%d",ans);
}
\(O(31\times n)\) \(100\)分
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<ctype.h>
#define lowbit(x) (x)&-(x)
const int MARX = 1e5+10;
//=============================================================
int n,ans,a[MARX];
int bit[40] , f[MARX]; //具体意义见上文
std::map <int,int> log_2;
//=============================================================
inline int read()
{
int fl=1,w=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
if(ch=='-') fl=-1;
while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
return fl*w;
}
//=============================================================
signed main()
{
for(int i=0,sum=1;i<=31;i++,sum<<=1) log_2[sum]=i; //预处理log函数
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=a[i],low=lowbit(j);j;j-=low,low=lowbit(j)) //枚举二进制位更新f[i]
f[i]=std::max(f[i],bit[log_2[low]]+1);
for(int j=a[i],low=lowbit(j);j;j-=low,low=lowbit(j)) //使用更新过的f[i]更新bit[k]
bit[log_2[low]]=std::max(bit[log_2[low]],f[i]);
ans=std::max(f[i],ans); //取得最大答案
}
printf("%d",ans);
}
\(updata\ on\ 2019.8.13\)
修复了暴力思路的 \(bug\) ,
并添加了代码
