「单调队列优化DP」题解 P1725 【琪露诺】

知识点 : DP , 单调队列优化

原题面

先无良宣传一下博客 \(wwwwww\)
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\(\text{Updata on 2019.11.10}\) : 全部重构
感谢 胖虎x 与 Grass2_Ofalen 提出问题 \(\sim\)
删除了之前由于数据水卡过去的 优先队列做法

题目要求 :

给定一长度为 \(N + 1\) 的数列 \(A\) , 第 \(1\) 项为 \(0\)
以第一项为起点 , 对于当前的位置 \(i\)
可以转移到: \((i + L, i + R)\) 中任意一位置
并且获得当前位置上 数的价值 .

求 : 当位置 \(\ge N + 1\) 时可以取得的 最大价值和

分析题意:

很显然的 DP .
设 \(f[i]\) 为: 到达位置 \(i\) 时最大的价值和 , 则状态转移方程如下 :
\(f[i] = \max(f[j]) + A[i]\ \ (i -R \le j \le i - L)\)

• 我会暴力 !
  枚举每一位置 , 枚举每一可转移到该位置的 位置, 暴力进行转移
  复杂度 \(O(n ^ 2)\) , 取得了 \(60\) 分的好成绩 (大雾)

考虑优化 :

1. 转移到 位置 \(i\) 的位置 , 为区间 \(\underline{[i-R,i-L]}\) 中 , \(f[]\) 最大的位置

2. 转移到 位置 \(i + 1\) 的位置 , 为区间 \(\underline{[i-R + 1,i-L + 1]}\) 中 , \(f[]\) 最大的位置

3. 转移到 位置 \(i + 2\) 的位置 , 为区间 \(\underline{[i - R + 2,i - L + 2]}\) 中 , \(f[]\) 最大的位置

后两个区间 , 都可以通过 上一个区间 右移一个单位 得到
这不禁让我们想到了另一道题 : P1886 滑动窗口
如果您还未学习过单调队列 , 推荐这篇文章:
【洛谷日报#9】 [Sweetlemon] 朝花中学OI队的奋斗历程——浅谈单调队列

这种 滑动窗口型 最值问题 , 显然 , 可以通过 单调队列 来进行维护 .
由上 , 我们便找到了一种合适 \(DP\) 优化方法 : 单调队列优化 .

算法实现 :

顺序枚举 \([L, N]\) 的每一个位置 \(i\).

1. 将能够转移到 \(i\) 的最靠右的位置 插入单调队列中
2. 删除 单调队列首 不能转移到 \(i\) 的位置
3. 查询当前单调队列首的位置 , 即为能够转移到 \(i\) 的价值最大的位置
4. 若 \(i + R > N\) , 说明位置 \(i\) 能够跳到对岸 , 对此类位置的权值和取最大值, 即为答案

---

附 \(AC\) 代码 :

//By:Luckyblock
//バカって言うなぁ
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctype.h>
#define max(a, b) (a > b ? a : b)
const int MARX = 2e5 + 10;
const int INF = 2e9;
//=============================================================
int N, L, R, A[MARX], ans, f[MARX];//设 f[i]: 到达位置 i 时最大的价值和
int que[MARX], head = 1, tail = 1;//单调队列, 内部元素为位置 
//=============================================================
inline int read()
{
    int s = 1, w = 0; char ch = getchar();
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') s = -1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 1) + (w << 3) + (ch ^ '0');
    return s * w;
}
void Insert(int i)//插入操作 
{
	for(; f[i] >= f[que[tail]] && tail >= head; ) tail --;//弹出权值和较小的 队尾元素 
	que[++ tail] = i;//入队 
}
int query(int x)
{
	for(; que[head] + R < x; ) head ++;//弹出队首 不可到达x位置的 不合法元素 
	return que[head];//回答询问 
}
//=============================================================
int main()
{
	memset(f, 128, sizeof(f));//初始化极小值 (每个字节赋128会导致自然溢出 
	f[0] = 0, ans = - INF; //初始化, 将0位置权值和 赋为0  
	N = read(), L = read(), R = read();
	for(int i = 0; i <= N; i ++) A[i] = read();
	
	for(int i = L; i <= N; i ++)
	{
	  Insert(i - L); //将最后一个 能够转移到i的位置 加入单调队列 
	  int from = query(i);//找到队首 权值和最大的位置 
	  f[i] = f[from] + A[i];//进行转移 
	  if(i + R > N) ans = max(ans, f[i]);//判断i能够跳到对岸, 计算答案 
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

附评论区的 \(\text{Hack}\) 数据 , 重构题解后已过

testdata1.in:

5 3 4 0 1 2 3 4 5

testdata1.out

4

testdata2.in:

7 4 4 0 1 -4 -2 2 -5 3 2

testdata2.out:

2

完成了这篇题解 , 东方众信仰 \(++\)